Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente. sumk=2^infty k^2(-1)^k+1ln k

Passo 1

Vamos analisar a série . Nosso objetivo é verificar se essa série converge absolutamente ou converge condicionalmente. Para isso, vamos utilizar conceitos de Testes de Convergência de Séries.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta. Isso significa que vamos considerar a série dos valores absolutos:
sumk=2^infty | k^2(-1)^k+1ln k | = sumk=2^infty k^2ln k
Observando os termos limk to infty k^2ln k = infty , percebemos que à medida que cresce, aumenta muito mais rápido do que . Para verificar se a série converge, podemos aplicar o Teste da Divergência. Este teste nos diz que se o limite dos termos da série não for zero, a série não converge.
Calculando o limite:
Como o limite é infinito e não zero, concluímos que a série dos valores absolutos diverge. Portanto, a série original não converge absolutamente.

Passo 3

Agora, vamos verificar a convergência condicional utilizando o Teste da S��rie Alternada. Este teste diz que se os termos ak = k^2ln k forem decrescentes e o limite de limk to infty ak = limk to infty k^2ln k = infty for zero, a série alternada converge condicionalmente.
No nosso caso:
Já vimos que:
Como o limite não é zero, a série não atende aos critérios do Teste da Série Alternada. Portanto, a série não converge condicionalmente.

Resposta

A série não converge absolutamente nem condicionalmente.

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