Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência: sumk=1^infty (2 k+1)!2 k! x^2 k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o intervalo de convergência da série de potência:
sumk=1^infty (2k+1)!2k! x^2k
Aqui, estamos lidando com séries de potência, e para descobrir onde essa série converge, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta poderosa para esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é:
ak = (2k+1)!2k! x^2k
O Teste da Razão nos diz para calcular o limite:
L = limk to infty | ak+1ak |
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos calcular ak+1 = (2(k+1)+1)!2(k+1)! x^2(k+1) = (2k+3)!2(k+1)! x^2k+2 :
ak+1ak = (2k+3)!2(k+1)! cdot 2k!(2k+1)! cdot x^2k+2 div x^2k = (2k+3)(2k+2)2(k+1) x^2
Agora, vamos formar a razão | ak+1ak | = (2k+3)(2k+2)2(k+1) |x|^2 :
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando L = limk to infty (2k+3)(2k+2)2(k+1) |x|^2 tende ao infinito:
L approx limk to infty 4k^22k |x|^2 = limk to infty 2k |x|^2
Simplificando os termos de maior grau no numerador e denominador:
À medida que cresce, também cresce sem limites, a menos que .

Resposta

A série converge apenas no ponto . Portanto, o intervalo de convergência é .

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