Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente descobrir se a série converge ou diverge. Isso tá relacionado ao estudo de séries infinitas dentro de Cálculo, especialmente quando analisamos se uma série dá pra somar até o infinito ou não. Pra resolver isso, vamos precisar usar um teste de convergência de séries que nos ajude a determinar esse comportamento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os termos da série: . Aqui, cada termo é dado por . A função exponencial tende a zero bem rápido conforme aumenta, enquanto cresce, mas de forma polinomial. Precisamos ver qual dessas tendências domina quando somamos esses termos do começo até o infinito.

Passo 3

Uma boa estratégia nesse caso é usar o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert), que é muito útil para séries com termos que envolvem fatoriais ou exponenciais. Esse teste nos diz que se o limite da razão entre um termo e o anterior é menor que 1, a série converge.

Passo 4

Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. Primeiro, definimos o termo geral da série como . Agora, calculamos a razão :

Passo 5

Simplificando a expressão:
Quando tende ao infinito, tende a 1. Portanto:

Passo 6

Sabemos que , então . Como , pelo Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série converge pelo Teste da Razão, já que o limite da razão entre termos consecutivos é menor que 1.

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Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
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Use a definição de limite para provar que nos casos abaixo: