Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
sum k^10 e^-k

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente descobrir se a série sum k^10 e^-k converge ou diverge. Isso tá relacionado ao estudo de séries infinitas dentro de Cálculo, especialmente quando analisamos se uma série dá pra somar até o infinito ou não. Pra resolver isso, vamos precisar usar um teste de convergência de séries que nos ajude a determinar esse comportamento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os termos da série: sum k^10 e^-k. Aqui, cada termo é dado por k^10 e^-k. A função exponencial e^-k tende a zero bem rápido conforme k aumenta, enquanto k^10 cresce, mas de forma polinomial. Precisamos ver qual dessas tendências domina quando somamos esses termos do começo até o infinito.

Passo 3

Uma boa estratégia nesse caso é usar o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert), que é muito útil para séries com termos que envolvem fatoriais ou exponenciais. Esse teste nos diz que se o limite da razão entre um termo e o anterior é menor que 1, a série converge.

Passo 4

Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. Primeiro, definimos o termo geral da série como ak = k^10 e^-k. Agora, calculamos a razão ak+1ak:
ak+1ak = (k+1)^10 e^-(k+1)k^10 e^-k = (k+1)^10k^10 cdot e^-1

Passo 5

Simplificando a expressão:
ak+1ak = (1 + 1k)^10 cdot 1e
Quando k tende ao infinito, (1 + 1k)^10 tende a 1. Portanto:
limk to infty ak+1ak = 1 cdot 1e = 1e

Passo 6

Sabemos que e approx 2,718, então 1e approx 0,367. Como 0,367 < 1, pelo Teste da Razão, a série sum k^10 e^-k converge.

Resposta

A série sum k^10 e^-k converge pelo Teste da Razão, já que o limite da razão entre termos consecutivos é menor que 1.

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