Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente descobrir se a série
converge ou diverge. Isso tá relacionado ao estudo de séries infinitas dentro de Cálculo, especialmente quando analisamos se uma série dá pra somar até o infinito ou não. Pra resolver isso, vamos precisar usar um teste de convergência de séries que nos ajude a determinar esse comportamento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os termos da série:
. Aqui, cada termo é dado por
. A função exponencial
tende a zero bem rápido conforme
aumenta, enquanto
cresce, mas de forma polinomial. Precisamos ver qual dessas tendências domina quando somamos esses termos do começo até o infinito.
Passo 3
Uma boa estratégia nesse caso é usar o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert), que é muito útil para séries com termos que envolvem fatoriais ou exponenciais. Esse teste nos diz que se o limite da razão entre um termo e o anterior é menor que 1, a série converge.
Passo 4
Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. Primeiro, definimos o termo geral da série como
. Agora, calculamos a razão
:
Passo 5
Simplificando a expressão:
Quando
tende ao infinito,
tende a 1. Portanto:
Passo 6
Sabemos que
, então
. Como
, pelo Teste da Razão, a série
converge.
Resposta
A série
converge pelo Teste da Razão, já que o limite da razão entre termos consecutivos é menor que 1.
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Use a definição de limite para provar que
nos casos abaixo: