Use a definição de limite para provar que lim n infty an=L nos casos abaixo:
an=n3 n+1 ; L=13

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa provar, usando a definição de limite, que quando vai para o infinito, a sequência se aproxima de . Isso está ligado ao conteúdo de limites de sequências, onde analisamos o comportamento de uma sequência conforme seus termos ficam cada vez maiores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de limite para sequências. Dizemos que se, para todo , existe um número natural tal que para todo , a inequação é verdadeira. Ou seja, queremos achar um que faça a diferença entre e ser menor que qualquer que a gente escolher.

Passo 3

Vamos começar calculando a diferença | n3n + 1 - 13 | :
| n3n + 1 - 13 | = | 3n - (3n + 1)3(3n + 1) | = | -13(3n + 1) | = 13(3n + 1)
Primeiro, vamos simplificar essa expressão:

Passo 4

Agora, queremos que essa diferença seja menor que 13(3n + 1) < epsilon :
3(3n + 1) > 1epsilon 9n + 3 > 1epsilon 9n > 1epsilon - 3 n > 1epsilon - 39 = 1 - 3epsilon9epsilon
Vamos resolver essa desigualdade para :

Passo 5

Para garantir que seja um número natural, vamos escolher como sendo o menor número inteiro maior que . Assim, para todo , a inequação será satisfeita.

Resposta

limn to infty n3n + 1 = 13

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