Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. Vamos usar conceitos de séries infinitas e, mais especificamente, aplicar o Teste da Raiz para descobrir isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Raiz. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série observando a raiz enésima do termo geral da série. A ideia é calcular o limite:
onde
é o termo geral da série. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste é inconclusivo.
Passo 3
No nosso caso, o termo geral da série é:
Vamos calcular a raiz enésima desse termo:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite desse valor quando
tende ao infinito:
Para simplificar, percebemos que no denominador
domina sobre o 1 quando
cresce, então podemos aproximar:
E sabemos que:
Passo 5
Como o limite da raiz enésima é 0, que é menor que 1, de acordo com o Teste da Raiz, a série converge.
Resposta
A série
converge pelo Teste da Raiz.
Exercícios relacionados
Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
Use a definição de limite para provar que
nos casos abaixo:
Determine os limites das seguintes seqüências: