Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
sum(k1+k^3)^k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar se a série sum(k1+k^3)^k converge ou diverge. Vamos usar conceitos de séries infinitas e, mais especificamente, aplicar o Teste da Raiz para descobrir isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Raiz. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série observando a raiz enésima do termo geral da série. A ideia é calcular o limite:
limk to infty raiz[k]ak
onde ak é o termo geral da série. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

No nosso caso, o termo geral da série é:
ak = (k1 + k^3)^k
Vamos calcular a raiz enésima desse termo:
raiz[k]ak = raiz[k](k1 + k^3)^k = k1 + k^3

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite desse valor quando k tende ao infinito:
limk to infty k1 + k^3
Para simplificar, percebemos que no denominador k^3 domina sobre o 1 quando k cresce, então podemos aproximar:
k1 + k^3 approx kk^3 = 1k^2
E sabemos que:
limk to infty 1k^2 = 0

Passo 5

Como o limite da raiz enésima é 0, que é menor que 1, de acordo com o Teste da Raiz, a série converge.

Resposta

A série sum(k1+k^3)^k converge pelo Teste da Raiz.

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