Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar se a série converge ou diverge. Vamos usar conceitos de séries infinitas e, mais especificamente, aplicar o Teste da Raiz para descobrir isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Raiz. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série observando a raiz enésima do termo geral da série. A ideia é calcular o limite:
onde é o termo geral da série. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

No nosso caso, o termo geral da série é:
Vamos calcular a raiz enésima desse termo:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite desse valor quando tende ao infinito:
Para simplificar, percebemos que no denominador domina sobre o 1 quando cresce, então podemos aproximar:
E sabemos que:

Passo 5

Como o limite da raiz enésima é 0, que é menor que 1, de acordo com o Teste da Raiz, a série converge.

Resposta

A série converge pelo Teste da Raiz.

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Use a definição de limite para provar que nos casos abaixo:
Determine os limites das seguintes seqüências: