Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos determinar se a série infinita converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries matemáticas e aplicar um teste de convergência que nos ajudará a chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da série:
Podemos simplificar esse termo dividindo tanto o numerador quanto o denominador por :
À medida que cresce, os termos e se aproximam de zero. Então, para valores grandes de , o termo se comporta de forma semelhante a .

Passo 3

Sabemos que a série é uma série geométrica com razão . Como , essa série geométrica converge.

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Teste da Comparação. Nesse teste, comparamos os termos da série que estamos analisando com os termos de uma série conhecida que já sabemos se converge ou diverge.
Como vimos que para grande, , e sabemos que converge, podemos concluir que nossa série original também converge.

Resposta

A série converge, utilizando o Teste da Comparação para chegar a essa conclusão.

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