Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
sumk=1^infty (-1)^kk^3

Passo 1

Beleza! A gente tem que verificar se a série sumk=1^infty (-1)^kk^3 converge de duas formas: absolutamente e condicionalmente. Pra isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas, como o teste da série p e o teste da série alternada.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a série converge absolutamente. Isso significa que a gente ignora o sinal alternado e verifica se a série dos valores absolutos converge. Então, vamos analisar sumk=1^infty |(-1)^kk^3| = sumk=1^infty 1k^3.

Passo 3

Essa série é uma série p, onde p = 3. Sabemos que uma série p converge se p > 1. Como 3 > 1, a série sumk=1^infty 1k^3 converge. Então, a série original converge absolutamente.

Passo 4

Agora, vamos checar a convergência condicional. Uma série converge condicionalmente se ela converge, mas não converge absolutamente. Porém, já provamos que a série converge absolutamente, o que significa que ela também converge. Mas, como a convergência absoluta já garante a convergência, a convergência condicional não se aplica nesse caso.

Resposta

(a) A série converge absolutamente.
(b) A série não converge condicionalmente.

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