Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a série converge absolutamente ou condicionalmente. Vamos usar conceitos de séries infinitas, especificamente os testes de convergência para séries alternadas e o teste de convergência absoluta.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta. Isso significa que vamos analisar a série dos valores absolutos dos termos:
Para testar a convergência dessa série, podemos comparar com uma série p, que é . Sabemos que a série p converge se .
Passo 3
Observando , notamos que para grandes valores de , é aproximadamente proporcional a , então podemos comparar com .
Nesse caso, , que é menor que 1. Portanto, pela comparação com a série p divergente, a série também diverge.
Passo 4
Como a série dos valores absolutos diverge, a série original não converge absolutamente. Agora, vamos verificar a convergência condicional usando o Teste da Série Alternada.
Esse teste diz que se os termos são positivos, decrescentes e tendem a zero quando tende ao infinito, então a série alternada converge.
Passo 5
Vamos verificar as condições:
Positivos: para todo .
Decrescentes: Conforme aumenta, aumenta, então diminui.
Tendem a zero: .
Todas as condições são satisfeitas, então pela critério da série alternada, a série converge condicionalmente.
Resposta
A série não converge absolutamente, mas converge condicionalmente.