Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
Passo 1
Então, temos um exercício que pede para determinar se a série converge ou diverge. Vamos usar conceitos de séries infinitas e aplicar um teste apropriado para chegar à resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando temos uma série com termos que envolvem fatorial, como , o Teste da Razão é uma boa escolha para verificar a convergência ou divergência. Esse teste analisa o limite entre termos consecutivos para decidir o comportamento da série.
Passo 3
O Teste da Razão funciona assim: calculamos o limite de quando k tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge absolutamente. Se for maior que 1, a série diverge. Se for igual a 1, o teste não é conclusivo.
Passo 4
Vamos aplicar o teste na nossa série:
ak = k!2^k+2
Calculando ak+1ak:
ak+1ak = (k+1)!2^(k+1)+2 times 2^k+2k! = (k+1) times k!2^k+3 times 2^k+2k! = k+12
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite desse quociente quando k tende ao infinito:
limk to infty k+12 = infty
Como o limite é maior que 1, isso indica que a série diverge de acordo com o Teste da Razão.