Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente. sumk=1^infty (-1)^k+1 k^2(k+2)!

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a série converge absolutamente ou converge condicionalmente. Para isso, vamos precisar entender sobre convergência de séries, séries absolutas e séries alternadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série converge absolutamente se a série dos valores absolutos dela também converge. Ou seja, analisamos .

Passo 3

Simplificando os valores absolutos, temos . Agora, para verificar a convergência dessa série, podemos usar o Teste da Comparação ou o Teste da Razão.

Passo 4

Vamos aplicar o Teste da Razão, que é ótimo para séries com fatoriais. Segundo esse teste, calculamos o limite:
L = limk to infty | ak+1ak |
Onde .

Passo 5

Calculando o limite:
L = limk to infty (k+1)^2(k+3)! cdot (k+2)!k^2 = limk to infty (k+1)^2k^2(k+3) = limk to infty (k+1)^2k^2(k+3)
Simplificando:
L = limk to infty k^2 + 2k + 1k^3 + 3k^2 = 0

Passo 6

Como , o Teste da Razão nos diz que a série converge absolutamente.

Passo 7

Agora, já que a série dos valores absolutos converge, não precisamos verificar a convergência condicional. A convergência absoluta implica a convergência da série original.

Resposta

A série converge absolutamente.

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