Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a série converge absolutamente ou converge condicionalmente. Para isso, vamos precisar entender sobre convergência de séries, séries absolutas e séries alternadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série converge absolutamente se a série dos valores absolutos dela também converge. Ou seja, analisamos .
Passo 3
Simplificando os valores absolutos, temos . Agora, para verificar a convergência dessa série, podemos usar o Teste da Comparação ou o Teste da Razão.
Passo 4
Vamos aplicar o Teste da Razão, que é ótimo para séries com fatoriais. Segundo esse teste, calculamos o limite:
L = limk to infty | ak+1ak |
Onde .
Passo 5
Calculando o limite:
L = limk to infty (k+1)^2(k+3)! cdot (k+2)!k^2 = limk to infty (k+1)^2k^2(k+3) = limk to infty (k+1)^2k^2(k+3)
Simplificando:
L = limk to infty k^2 + 2k + 1k^3 + 3k^2 = 0
Passo 6
Como , o Teste da Razão nos diz que a série converge absolutamente.
Passo 7
Agora, já que a série dos valores absolutos converge, não precisamos verificar a convergência condicional. A convergência absoluta implica a convergência da série original.