Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: precisamos determinar se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos utilizar o conteúdo de Séries Numéricas, especificamente os testes de convergência como o Teste da Comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para facilitar a comparação. Observamos que no numerador temos
e no denominador
. Para grandes valores de
, os termos
se tornam menos significativos, então podemos aproximar:
Passo 3
Agora, comparamos a série original com a série
. Sabemos que a série
converge se
e diverge se
. Aqui,
, que é maior que
, portanto, a série
diverge.
Passo 4
Como a série
se comporta de maneira semelhante à série
para grandes valores de
e sabemos que esta última diverge, podemos concluir, pelo Teste da Comparação, que a série original também diverge.
Resposta
A série
diverge. Utilizamos o Teste da Comparação para chegar a essa conclusão.