Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado: sum k+1raizk^3 / 2+1

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos determinar se a série sum k+1raizk^3 / 2+1 converge ou diverge. Para isso, vamos utilizar o conteúdo de Séries Numéricas, especificamente os testes de convergência como o Teste da Comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para facilitar a comparação. Observamos que no numerador temos k + 1 e no denominador raizk^3/2 + 1. Para grandes valores de k, os termos +1 se tornam menos significativos, então podemos aproximar:
k+1raizk^3/2+1 approx kraizk^3/2 = kk^3/4 = k^1 - 3/4 = k^1/4

Passo 3

Agora, comparamos a série original com a série sum k^1/4. Sabemos que a série sum k^p converge se p < -1 e diverge se p >= -1. Aqui, p = 1/4, que é maior que -1, portanto, a série sum k^1/4 diverge.

Passo 4

Como a série sum k+1raizk^3 / 2+1 se comporta de maneira semelhante à série sum k^1/4 para grandes valores de k e sabemos que esta última diverge, podemos concluir, pelo Teste da Comparação, que a série original também diverge.

Resposta

A série sum k+1raizk^3 / 2+1 diverge. Utilizamos o Teste da Comparação para chegar a essa conclusão.

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