Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série
converge. Se ela convergir, também precisamos descobrir qual é a sua soma. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries geométricas e entender quando elas convergem.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que tipo de série estamos lidando. A série dada é uma série geométrica, onde cada termo é multiplicado por uma razão constante em relação ao termo anterior. A forma geral de uma série geométrica é:
onde
é o primeiro termo e
é a razão da série.
No nosso caso, podemos reescrever a série da seguinte forma:
Aqui, a razão
é
.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se a série converge. Para uma série geométrica, a condição de convergência é:
Vamos calcular o valor de
:
Como
, a série converge.
Passo 4
Como a série converge, podemos calcular a soma dela usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
Aqui,
é o primeiro termo da série. Quando
:
Então, substituindo na fórmula:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão para deixar o denominador sem raiz. Para isso, multiplicamos o numerador e o denominador por
:
Resposta
A série
converge e a sua soma é: