Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma. sumk=0^infty 2^k / 23^k

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série converge. Se ela convergir, também precisamos descobrir qual é a sua soma. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries geométricas e entender quando elas convergem.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de série estamos lidando. A série dada é uma série geométrica, onde cada termo é multiplicado por uma razão constante em relação ao termo anterior. A forma geral de uma série geométrica é:
sumk=0^infty ar^k
onde sumk=0^infty ( 2^1/23 )^k é o primeiro termo e é a razão da série.
No nosso caso, podemos reescrever a série da seguinte forma:
Aqui, a razão é .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a série converge. Para uma série geométrica, a condição de convergência é:
|r| < 1
Vamos calcular o valor de r = raiz23 approx 0,4714 :
Como , a série converge.

Passo 4

Como a série converge, podemos calcular a soma dela usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
S = a1 - r
Aqui, a = 2^0/23^0 = 1 é o primeiro termo da série. Quando S = 11 - raiz23 = 13 - raiz23 = 33 - raiz2 :
Então, substituindo na fórmula:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão para deixar o denominador sem raiz. Para isso, multiplicamos o numerador e o denominador por S = 33 - raiz2 times 3 + raiz23 + raiz2 = 3(3 + raiz2)(3)^2 - (raiz2)^2 = 9 + 3raiz29 - 2 = 9 + 3raiz27 :

Resposta

A série S = 9 + 3raiz27 converge e a sua soma é:

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