Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita: . O objetivo é verificar se essa série:
(a) Converge absolutamente;
(b) Converge condicionalmente.
Para resolver isso, vamos precisar conhecer alguns conceitos de séries infinitas, como convergência absoluta e condicional, além de aplicar testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é convergência absoluta. Dizemos que uma série converge absolutamente se a série dos valores absolutos também converge. Ou seja, se converge, então converge absolutamente.
No nosso caso, a série dos valores absolutos é .
Passo 3
Agora, para verificar a convergência dessa série de valores absolutos, podemos usar o Teste da Razão. Esse teste diz que, se :
Se , a série converge absolutamente.
Se , a série diverge.
Se , o teste é inconclusivo.
Vamos aplicar isso à nossa série .
Passo 4
Calculando o limite:
L = limk to infty |ak+1ak| = limk to infty (k+1)^32^(k+1)+2 cdot 2^k+2k^3 = limk to infty (k+1)^32 k^3 = 12 limk to infty (1 + 1k)^3 = 12 cdot 1 = 12
Como , a série dos valores absolutos converge.
Passo 5
Já que a série dos valores absolutos converge, isso significa que a série original converge absolutamente.
Passo 6
Como a série converge absolutamente, não precisamos verificar a convergência condicional, pois a convergência absoluta é uma condição mais forte que garante a convergência da série original.