Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente. sumk=1^infty (-1)^k k^32^k+2

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita: . O objetivo é verificar se essa série:
(a) Converge absolutamente;
(b) Converge condicionalmente.
Para resolver isso, vamos precisar conhecer alguns conceitos de séries infinitas, como convergência absoluta e condicional, além de aplicar testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é convergência absoluta. Dizemos que uma série converge absolutamente se a série dos valores absolutos também converge. Ou seja, se converge, então converge absolutamente.
No nosso caso, a série dos valores absolutos é .

Passo 3

Agora, para verificar a convergência dessa série de valores absolutos, podemos usar o Teste da Razão. Esse teste diz que, se :
  • Se , a série converge absolutamente.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
Vamos aplicar isso à nossa série .

Passo 4

Calculando o limite:
L = limk to infty |ak+1ak| = limk to infty (k+1)^32^(k+1)+2 cdot 2^k+2k^3 = limk to infty (k+1)^32 k^3 = 12 limk to infty (1 + 1k)^3 = 12 cdot 1 = 12
Como , a série dos valores absolutos converge.

Passo 5

Já que a série dos valores absolutos converge, isso significa que a série original converge absolutamente.

Passo 6

Como a série converge absolutamente, não precisamos verificar a convergência condicional, pois a convergência absoluta é uma condição mais forte que garante a convergência da série original.

Resposta

A série converge absolutamente.

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