Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
sum 2^kk+2

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a série converge ou diverge. Isso está relacionado ao conteúdo de séries numéricas, especificamente aos testes de convergência. Para resolver, vamos usar o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, lembrando o que é o Teste da Razão: para uma série , calculamos o limite . Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; se for igual a 1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão à nossa série. Aqui, .
Calculamos .

Passo 4

Agora, calculamos a razão:
| ak+1ak | = 2^k+1k+3 cdot k+22^k = 2 cdot k+2k+3

Passo 5

Calculamos o limite quando limk to infty 2 cdot k+2k+3 = 2 cdot limk to infty k+2k+3 = 2 cdot 1 = 2 tende ao infinito:

Passo 6

Como o limite é 2, que é maior que 1, segundo o Teste da Razão, a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo Teste da Razão.

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