Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Precisamos determinar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries e testes de convergência, especialmente focando em manipulações de potências e aplicações de testes como o teste da razão.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. Observamos que pode ser reescrito como . Então, a série fica:
Passo 3
Simplificando mais a expressão, sabemos que . Assim, a série se torna:
Passo 4
Agora, temos que analisar a série . Para determinar a convergência dessa série, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a ver o comportamento de séries com termos que envolvem potências.
Passo 5
O Teste da Razão funciona assim: calculamos o limite . Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não é conclusivo.
Passo 6
Vamos aplicar o teste. Nosso termo geral é ak = k^3 (12)^k. Calculamos: