Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado: sum k^3 2^k+32^2 k

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Precisamos determinar se a série sum k^3 2^k+32^2 k converge ou diverge. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries e testes de convergência, especialmente focando em manipulações de potências e aplicações de testes como o teste da razão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. Observamos que 2^k+3 pode ser reescrito como 2^k cdot 2^3 = 8 cdot 2^k. Então, a série fica:
sum k^3 cdot 8 cdot 2^k2^2k = 8 sum k^3 cdot 2^k2^2k

Passo 3

Simplificando mais a expressão, sabemos que 2^k2^2k = 2^-k = (12)^k. Assim, a série se torna:
8 sum k^3 (12)^k

Passo 4

Agora, temos que analisar a série sum k^3 (12)^k. Para determinar a convergência dessa série, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a ver o comportamento de séries com termos que envolvem potências.

Passo 5

O Teste da Razão funciona assim: calculamos o limite limk to infty | ak+1ak |. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não é conclusivo.

Passo 6

Vamos aplicar o teste. Nosso termo geral é ak = k^3 (12)^k. Calculamos:
ak+1ak = (k+1)^3 (12)^k+1k^3 (12)^k = (k+1)^3k^3 cdot 12

Passo 7

Simplificando a expressão:
(k+1)^3k^3 cdot 12 = (1 + 1k)^3 cdot 12
Quando k to infty, (1 + 1k)^3 to 1. Então, o limite fica:
limk to infty (1 + 1k)^3 cdot 12 = 1 cdot 12 = 12

Passo 8

Como o limite 12 é menor que 1, pelo Teste da Razão, a série sum k^3 (12)^k converge.

Resposta

A série sum k^3 2^k+32^2 k converge, e utilizamos o Teste da Razão para determinar sua convergência.

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