Determine os limites das seguintes seqüências:
Passo 1
Entendendo o problema:
A gente precisa encontrar o limite da sequência .
Matéria envolvida: Limites de sequências envolvendo funções trigonométricas.
O que vamos precisar: Saber como comportam-se funções trigonométricas como e
quando
cresce sem parar, e entender como comparar termos de crescimento diferente.
A gente precisa encontrar o limite da sequência
Matéria envolvida: Limites de sequências envolvendo funções trigonométricas.
O que vamos precisar: Saber como comportam-se funções trigonométricas como
Passo 2
Análise dos termos:
Quando vai para o infinito, os termos
(que cresce para infinito) dominam sobre
e
(que sempre estão entre -1 e 1). Isso significa que, para valores muito grandes de
,
e
têm pouca influência no valor da expressão inteira.
Quando
Passo 3
Simplificando a expressão:
Podemos reescrever a expressão dividindo numerador e denominador por :
Podemos reescrever a expressão dividindo numerador e denominador por
Passo 4
Calculando os limites individuais:
Sabemos que:
Sabemos que:
Isso porque
e
estão sempre entre -1 e 1, então dividir por
que vai para infinito faz essas frações tenderem a zero.
Passo 5
Aplicando os limites na expressão simplificada:
Substituindo os limites que encontramos:
Substituindo os limites que encontramos:
Resposta
O limite da sequência é igual a 1.