Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma. sumk=1^infty 2^k-2+3^k+15^k

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a convergência da série . Aqui, estamos trabalhando com séries numéricas e vamos usar conhecimentos de séries geométricas para analisar a convergência e, se for o caso, calcular a soma da série.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. A série é composta por dois termos no numerador: sumk=1^infty 2^k-25^k + sumk=1^infty 3^k+15^k e , todos divididos por . Podemos separar a série em duas séries distintas:

Passo 3

Agora, vamos simplificar cada termo separadamente.
Para a primeira série:
2^k-25^k = 2^k2^2 cdot 5^k = 14 ( 25 )^k
Para a segunda série:
3^k+15^k = 3 cdot 3^k5^k = 3 ( 35 )^k

Passo 4

Agora, temos duas séries geométricas:
14 sumk=1^infty ( 25 )^k e 3 sumk=1^infty ( 35 )^k
Séries geométricas da forma convergem se e a soma é .

Passo 5

Vamos verificar a convergência de cada série.
Para a primeira série, 14 cdot 251 - 25 = 14 cdot 2535 = 14 cdot 23 = 212 = 16 e 3 cdot 351 - 35 = 3 cdot 3525 = 3 cdot 32 = 92 , então a série converge. A soma é:
Para a segunda série, e , então a série também converge. A soma é:

Resposta

A série 16 + 92 = 1 + 276 = 286 = 143 converge e a sua soma é:

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