Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar a convergência da série
. Aqui, estamos trabalhando com séries numéricas e vamos usar conhecimentos de séries geométricas para analisar a convergência e, se for o caso, calcular a soma da série.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. A série é composta por dois termos no numerador:
e
, todos divididos por
. Podemos separar a série em duas séries distintas:
Passo 3
Agora, vamos simplificar cada termo separadamente.
Para a primeira série:
Para a segunda série:
Passo 4
Agora, temos duas séries geométricas:
Séries geométricas da forma
convergem se
e a soma é
.
Passo 5
Vamos verificar a convergência de cada série.
Para a primeira série,
e
, então a série converge. A soma é:
Para a segunda série,
e
, então a série também converge. A soma é:
Resposta
A série
converge e a sua soma é: