Utilize o teste da comparação para estabelecer a convergência ou não das seguintes séries:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema quer saber se a série converge ou não, usando o teste da comparação. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo de Séries, especificamente sobre como determinar a convergência de séries infinitas comparando com outras séries conhecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o teste da comparação. Esse teste nos permite comparar os termos da série que estamos analisando com os termos de uma outra série cuja convergência já conhecemos. Se a série comparada converge e os termos da nossa série são menores ou iguais, então a nossa série também converge. Se a série comparada diverge e os termos da nossa série são maiores ou iguais, então a nossa série também diverge.

Passo 3

Agora, vamos analisar os termos da série . Para facilitar a comparação, vamos simplificar essa expressão. Observamos que, para valores grandes de , o no denominador se torna menos significativo, então é aproximadamente igual a .
Então, podemos dizer que:

Passo 4

Vamos escolher uma série de comparação. Uma boa escolha aqui é a série , que é uma série p com . Sabemos que uma série p converge se e diverge se . Como é menor que 1, a série diverge.

Passo 5

Agora, vamos comparar os termos das duas séries:
Ou seja,
Isso mostra que cada termo da nossa série é maior ou igual a .

Passo 6

Como a série diverge e os termos da nossa série são maiores ou iguais a uma múltipla dessa série divergente, pelo teste da comparação, podemos concluir que a série também diverge.

Resposta

A série não converge; ela diverge.

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Use o teste da integral para determinar a convergência ou não das seguintes séries:
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Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado: