Utilize o teste da comparação para estabelecer a convergência ou não das seguintes séries:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema quer saber se a série
converge ou não, usando o teste da comparação. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo de Séries, especificamente sobre como determinar a convergência de séries infinitas comparando com outras séries conhecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o teste da comparação. Esse teste nos permite comparar os termos da série que estamos analisando com os termos de uma outra série cuja convergência já conhecemos. Se a série comparada converge e os termos da nossa série são menores ou iguais, então a nossa série também converge. Se a série comparada diverge e os termos da nossa série são maiores ou iguais, então a nossa série também diverge.
Passo 3
Agora, vamos analisar os termos da série
. Para facilitar a comparação, vamos simplificar essa expressão. Observamos que, para valores grandes de
, o
no denominador se torna menos significativo, então
é aproximadamente igual a
.
Então, podemos dizer que:
Passo 4
Vamos escolher uma série de comparação. Uma boa escolha aqui é a série
, que é uma série p com
. Sabemos que uma série p converge se
e diverge se
. Como
é menor que 1, a série
diverge.
Passo 5
Agora, vamos comparar os termos das duas séries:
Ou seja,
Isso mostra que cada termo da nossa série é maior ou igual a
.
Passo 6
Como a série
diverge e os termos da nossa série são maiores ou iguais a uma múltipla dessa série divergente, pelo teste da comparação, podemos concluir que a série
também diverge.
Resposta
A série
não converge; ela diverge.
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