Determine os limites das seguintes seqüências:
lim n infty ln (n)raizn

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o limite da sequência lim n infty ln (n)raizn. Isso está dentro do conteúdo de cálculo que estuda limites de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções de logaritmo natural ( ln(n)) e a raiz quadrada ( raizn) se comportam quando n cresce sem parar.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com ln(n) e raizn conforme n fica cada vez maior. Sabemos que ln(n) cresce, mas bem devagar, enquanto raizn também cresce, mas de forma mais rápida que o logaritmo. A ideia aqui é ver qual das duas funções domina o crescimento.

Passo 3

Para ter certeza de qual função está vencendo nessa corrida, vamos usar a regra de L’Hôpital. Essa regra é útil quando temos limites que resultam em formas do tipo inftyinfty ou 00. Nesse caso, quando n tende ao infinito, tanto ln(n) quanto raizn tendem ao infinito, então podemos aplicar a regra.

Passo 4

Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador separadamente. A derivada de ln(n) em relação a n é 1n, e a derivada de raizn em relação a n é 12raizn. Então, nosso limite fica:
lim n infty 1n12raizn = lim n infty 2raiznn = lim n infty 2raizn

Passo 5

Agora, vamos analisar o novo limite lim n infty 2raizn. Conforme n aumenta, raizn também aumenta sem parar, fazendo com que a fração 2raizn se aproxime cada vez mais de 0.

Resposta

Portanto, o limite da sequência é 0.

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