Determine os limites das seguintes seqüências:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o limite da sequência
. Isso está dentro do conteúdo de cálculo que estuda limites de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções de logaritmo natural (
) e a raiz quadrada (
) se comportam quando
cresce sem parar.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com
e
conforme
fica cada vez maior. Sabemos que
cresce, mas bem devagar, enquanto
também cresce, mas de forma mais rápida que o logaritmo. A ideia aqui é ver qual das duas funções domina o crescimento.
Passo 3
Para ter certeza de qual função está vencendo nessa corrida, vamos usar a regra de L’Hôpital. Essa regra é útil quando temos limites que resultam em formas do tipo
ou
. Nesse caso, quando
tende ao infinito, tanto
quanto
tendem ao infinito, então podemos aplicar a regra.
Passo 4
Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador separadamente. A derivada de
em relação a
é
, e a derivada de
em relação a
é
. Então, nosso limite fica:
Passo 5
Agora, vamos analisar o novo limite
. Conforme
aumenta,
também aumenta sem parar, fazendo com que a fração
se aproxime cada vez mais de 0.
Resposta
Portanto, o limite da sequência é
.
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Use a definição de limite para provar que
nos casos abaixo:
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Determine os limites das seguintes seqüências:
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