Determine os limites das seguintes seqüências:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o limite da sequência . Isso está dentro do conteúdo de cálculo que estuda limites de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções de logaritmo natural ( ) e a raiz quadrada ( ) se comportam quando cresce sem parar.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com e conforme fica cada vez maior. Sabemos que cresce, mas bem devagar, enquanto também cresce, mas de forma mais rápida que o logaritmo. A ideia aqui é ver qual das duas funções domina o crescimento.

Passo 3

Para ter certeza de qual função está vencendo nessa corrida, vamos usar a regra de L’Hôpital. Essa regra é útil quando temos limites que resultam em formas do tipo ou . Nesse caso, quando tende ao infinito, tanto quanto tendem ao infinito, então podemos aplicar a regra.

Passo 4

Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador separadamente. A derivada de em relação a é , e a derivada de em relação a é . Então, nosso limite fica:

Passo 5

Agora, vamos analisar o novo limite . Conforme aumenta, também aumenta sem parar, fazendo com que a fração se aproxime cada vez mais de 0.

Resposta

Portanto, o limite da sequência é .

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