Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
sumk=1^infty cos (k pi)k

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar se a série sumk=1^infty cos (k pi)k converge absolutamente ou condicionalmente. Isso faz parte do estudo de séries numéricas, onde verificamos se a soma infinita dá um resultado finito de maneiras diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o termo geral da série: cos (k pi)k. Sabemos que cos(k pi) alterna entre 1 e -1 conforme k aumenta. Então, podemos reescrever a série como sumk=1^infty (-1)^kk.

Passo 3

Agora, para verificar a convergência absoluta, a gente olha para a série dos valores absolutos: sumk=1^infty | (-1)^kk | = sumk=1^infty 1k. Essa série é conhecida como a série harmônica, e sabemos que ela não converge; ou seja, diverge para infinito.

Passo 4

Como a série dos valores absolutos não converge, a série original não converge absolutamente. Mas ainda podemos verificar se ela converge de forma condicional.

Passo 5

Para isso, usamos o Critério da Série Alternada, que diz que se os termos 1k diminuem de forma contínua para zero, então a série alternada sumk=1^infty (-1)^kk converge.

Passo 6

Observando 1k, vemos que quando k aumenta, 1k diminui e tende a zero. Então, todas as condições do Critério da Série Alternada estão satisfeitas.

Resposta

A série sumk=1^infty cos (k pi)k não converge absolutamente, mas converge condicionalmente.

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