Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar se a série converge absolutamente ou condicionalmente. Isso faz parte do estudo de séries numéricas, onde verificamos se a soma infinita dá um resultado finito de maneiras diferentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o termo geral da série: . Sabemos que alterna entre e conforme aumenta. Então, podemos reescrever a série como .
Passo 3
Agora, para verificar a convergência absoluta, a gente olha para a série dos valores absolutos: . Essa série é conhecida como a série harmônica, e sabemos que ela não converge; ou seja, diverge para infinito.
Passo 4
Como a série dos valores absolutos não converge, a série original não converge absolutamente. Mas ainda podemos verificar se ela converge de forma condicional.
Passo 5
Para isso, usamos o Critério da Série Alternada, que diz que se os termos diminuem de forma contínua para zero, então a série alternada converge.
Passo 6
Observando , vemos que quando aumenta, diminui e tende a zero. Então, todas as condições do Critério da Série Alternada estão satisfeitas.
Resposta
A série não converge absolutamente, mas converge condicionalmente.