Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série
converge e, se sim, descobrir qual é a soma dela. Isso envolve entender sobre séries infinitas e, mais especificamente, sobre séries geométricas. Vamos precisar saber como identificar uma série geométrica e aplicar a fórmula para verificar a convergência e calcular a soma.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que tipo de série estamos lidando aqui. A série dada é
. Isso se parece muito com uma série geométrica, que tem a forma geral
, onde
é o primeiro termo e
é a razão comum.
Passo 3
Vamos reescrever a série para ver melhor:
. Aqui, o primeiro termo
e a razão
.
Passo 4
Para uma série geométrica
convergir, é necessário que o valor absoluto da razão
seja menor que 1, ou seja,
. No nosso caso,
e
. Portanto, a série converge.
Passo 5
Agora que sabemos que a série converge, vamos calcular a soma dela. A fórmula para a soma de uma série geométrica que converge é:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A série
converge e a sua soma é
.
Exercícios relacionados
Escreva os quatro primeiros termos das seguintes séries:
Determine os limites das seguintes seqüências:
Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
Use o teste da integral para determinar a convergência ou não das seguintes séries: