Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série converge e, se sim, descobrir qual é a soma dela. Isso envolve entender sobre séries infinitas e, mais especificamente, sobre séries geométricas. Vamos precisar saber como identificar uma série geométrica e aplicar a fórmula para verificar a convergência e calcular a soma.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de série estamos lidando aqui. A série dada é . Isso se parece muito com uma série geométrica, que tem a forma geral , onde é o primeiro termo e é a razão comum.

Passo 3

Vamos reescrever a série para ver melhor: . Aqui, o primeiro termo e a razão .

Passo 4

Para uma série geométrica convergir, é necessário que o valor absoluto da razão seja menor que 1, ou seja, . No nosso caso, e . Portanto, a série converge.

Passo 5

Agora que sabemos que a série converge, vamos calcular a soma dela. A fórmula para a soma de uma série geométrica que converge é:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A série converge e a sua soma é .

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Escreva os quatro primeiros termos das seguintes séries:
Determine os limites das seguintes seqüências:
Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
Use o teste da integral para determinar a convergência ou não das seguintes séries: