Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série
converge. Se sim, também precisamos achar a soma dessa série. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de séries geométricas e propriedades de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a série em duas partes para facilitar a análise:
Passo 3
Agora, vamos simplificar cada uma das partes.
Para a primeira parte:
Para a segunda parte:
Passo 4
Agora, a série fica:
Passo 5
Vamos lembrar que uma série geométrica da forma
converge se
, e a soma é dada por:
Passo 6
Aplicando isso às nossas séries:
Primeira série:
- Razão
, que é menor que 1. - Soma:
Segunda série:
- Razão
, que também é menor que 1. - Soma:
Passo 7
Finalmente, somamos as duas partes para achar a soma total da série original:
Resposta
A série converge e sua soma é
.
Exercícios relacionados
Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
Escreva os quatro primeiros termos das seguintes séries:
Use o teste da integral para determinar a convergência ou não das seguintes séries:
Utilize o teste da comparação para estabelecer a convergência ou não das seguintes séries: