Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
sumk=1^infty 2^k-2+3^k+15^k

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série sumk=1^infty 2^k-2+3^k+15^k converge. Se sim, também precisamos achar a soma dessa série. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de séries geométricas e propriedades de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a série em duas partes para facilitar a análise:
sumk=1^infty 2^k-2 + 3^k+15^k = sumk=1^infty 2^k-25^k + sumk=1^infty 3^k+15^k

Passo 3

Agora, vamos simplificar cada uma das partes.
Para a primeira parte:
2^k-25^k = 2^k2^2 cdot 5^k = 2^k4 cdot 5^k = 14 (25)^k
Para a segunda parte:
3^k+15^k = 3 cdot 3^k5^k = 3 (35)^k

Passo 4

Agora, a série fica:
sumk=1^infty 2^k-2 + 3^k+15^k = 14 sumk=1^infty (25)^k + 3 sumk=1^infty (35)^k

Passo 5

Vamos lembrar que uma série geométrica da forma sumk=1^infty ar^k converge se |r| < 1, e a soma é dada por:
sumk=1^infty ar^k = ar1 - r

Passo 6

Aplicando isso às nossas séries:
Primeira série:
  • Razão r = 25, que é menor que 1.
  • Soma: 14 cdot 251 - 25 = 14 cdot 2535 = 14 cdot 23 = 212 = 16
Segunda série:
  • Razão r = 35, que também é menor que 1.
  • Soma: 3 cdot 351 - 35 = 3 cdot 3525 = 3 cdot 32 = 92

Passo 7

Finalmente, somamos as duas partes para achar a soma total da série original:
16 + 92 = 16 + 276 = 286 = 143

Resposta

A série converge e sua soma é 143.

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