Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série converge. Se sim, também precisamos achar a soma dessa série. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de séries geométricas e propriedades de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a série em duas partes para facilitar a análise:

Passo 3

Agora, vamos simplificar cada uma das partes.
Para a primeira parte:
Para a segunda parte:

Passo 4

Agora, a série fica:

Passo 5

Vamos lembrar que uma série geométrica da forma converge se , e a soma é dada por:

Passo 6

Aplicando isso às nossas séries:
Primeira série:
  • Razão , que é menor que 1.
  • Soma:
Segunda série:
  • Razão , que também é menor que 1.
  • Soma:

Passo 7

Finalmente, somamos as duas partes para achar a soma total da série original:

Resposta

A série converge e sua soma é .

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Escreva os quatro primeiros termos das seguintes séries:
Use o teste da integral para determinar a convergência ou não das seguintes séries:
Utilize o teste da comparação para estabelecer a convergência ou não das seguintes séries: