Determine os limites das seguintes seqüências:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite da sequência
. Esse problema está relacionado ao estudo de sequências e limites, que é uma parte da matemática chamada Cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como limites funcionam, especialmente quando envolvem potências e radiciação.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar o cálculo do limite. Uma técnica comum é usar o logaritmo natural para transformar a potência. Então, vamos definir:
Tirando o logaritmo natural dos dois lados, temos:
Passo 3
Agora, precisamos calcular o limite
. Sabemos que, conforme
cresce,
se torna negligenciável em relação a
, então podemos simplificar para:
Passo 4
O limite
é um tipo que tende a 0. Isso porque o logaritmo cresce muito mais lentamente que a função linear
. Matematicamente:
Então, temos:
Passo 5
Para encontrar
, basta usar a função exponencial dos dois lados:
Resposta
O limite da sequência é
.
Exercícios relacionados
Determine os limites das seguintes seqüências:
Use a definição de limite para provar que
nos casos abaixo:
Escreva os quatro primeiros termos das seguintes séries:
Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.