Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série converge e, se sim, qual é a sua soma. Isso envolve conceitos de séries infinitas e testes de convergência. Vamos precisar usar o método de frações parciais para simplificar os termos da série e facilitar a análise.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série . Perceba que pode ser fatorado como . Então, temos:
Agora, vamos decompor essa fração em frações parciais.

Passo 3

Vamos encontrar constantes e tais que:
Multiplicando ambos os lados por , obtemos:
Expandindo:
Agrupando os termos:
Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes devem ser iguais:
Resolvendo esse sistema:

Passo 4

Substituindo os valores de e na decomposição inicial:
Isso simplifica a nossa série para:

Passo 5

Observando a série, percebemos que ela é telescópica, ou seja, muitos termos se cancelam quando expandimos a série:
Note que cancela com , e assim por diante.

Passo 6

Após o cancelamento, restam apenas os primeiros termos que não encontram correspondência para se anular:
Como os termos restantes tendem a zero conforme vai para o infinito, a soma total da série é .

Resposta

A série converge e a sua soma é .

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Escreva os quatro primeiros termos das seguintes séries:
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Utilize o teste da comparação para estabelecer a convergência ou não das seguintes séries: