Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série
converge e, se sim, qual é a sua soma. Isso envolve conceitos de séries infinitas e testes de convergência. Vamos precisar usar o método de frações parciais para simplificar os termos da série e facilitar a análise.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série
. Perceba que
pode ser fatorado como
. Então, temos:
Agora, vamos decompor essa fração em frações parciais.
Passo 3
Vamos encontrar constantes
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos:
Expandindo:
Agrupando os termos:
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes devem ser iguais:
Resolvendo esse sistema:
Passo 4
Substituindo os valores de
e
na decomposição inicial:
Isso simplifica a nossa série para:
Passo 5
Observando a série, percebemos que ela é telescópica, ou seja, muitos termos se cancelam quando expandimos a série:
Note que
cancela com
, e assim por diante.
Passo 6
Após o cancelamento, restam apenas os primeiros termos que não encontram correspondência para se anular:
Como os termos restantes tendem a zero conforme
vai para o infinito, a soma total da série é
.
Resposta
A série
converge e a sua soma é
.
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