Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
sumk=2^infty 1k^2-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série converge e, se sim, qual é a sua soma. Isso envolve conceitos de séries infinitas e testes de convergência. Vamos precisar usar o método de frações parciais para simplificar os termos da série e facilitar a análise.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série 1k^2-1 = 1(k-1)(k+1) . Perceba que pode ser fatorado como . Então, temos:
Agora, vamos decompor essa fração em frações parciais.

Passo 3

Vamos encontrar constantes 1(k-1)(k+1) = Ak-1 + Bk+1 e 1 = A(k+1) + B(k-1) tais que:
1 = A k + A + B k - B
Multiplicando ambos os lados por 1 = (A + B)k + (A - B) , obtemos:
A + B = 0 e A - B = 1
Expandindo:
A = 12 e B = -12
Agrupando os termos:
Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes devem ser iguais:
Resolvendo esse sistema:

Passo 4

Substituindo os valores de 1k^2-1 = 1/2k-1 - 1/2k+1 e sumk=2^infty ( 1/2k-1 - 1/2k+1 ) na decomposição inicial:
Isso simplifica a nossa série para:

Passo 5

Observando a série, percebemos que ela é telescópica, ou seja, muitos termos se cancelam quando expandimos a série:
1/21 - 1/23 + 1/22 - 1/24 + 1/23 - 1/25 + dots
Note que cancela com , e assim por diante.

Passo 6

Após o cancelamento, restam apenas os primeiros termos que não encontram correspondência para se anular:
1/21 + 1/22 = 12 + 14 = 34
Como os termos restantes tendem a zero conforme vai para o infinito, a soma total da série é .

Resposta

A série converge e a sua soma é .

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