Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a série converge ou não. Se convergir, a gente também precisa achar a soma dela. Vamos usar conceitos de séries geométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar que a série apresentada é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral , onde:
  • é o primeiro termo da série.
  • é a razão da série, ou seja, quanto cada termo é multiplicado para chegar ao próximo.
No nosso caso, a série é , então:
  • (porque quando , ).
  • (a razão entre os termos consecutivos).

Passo 3

Agora, para saber se essa série converge, a gente precisa lembrar da condição de convergência para séries geométricas:
  • A série geométrica converge se .
  • Se , a série diverge, ou seja, não tem soma finita.

Passo 4

Vamos aplicar essa condição na nossa série. Temos que:
  • Então,
Como é maior que , temos que . Isso significa que a série não converge, ela diverge.

Resposta

A série diverge e não possui uma soma finita.

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Escreva os quatro primeiros termos das seguintes séries:
Determine os limites das seguintes seqüências:
Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.