Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a série
converge ou não. Se convergir, a gente também precisa achar a soma dela. Vamos usar conceitos de séries geométricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar que a série apresentada é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral
, onde:
-
é o primeiro termo da série. -
é a razão da série, ou seja, quanto cada termo é multiplicado para chegar ao próximo.
No nosso caso, a série é
, então:
-
(porque quando , ). -
(a razão entre os termos consecutivos).
Passo 3
Agora, para saber se essa série converge, a gente precisa lembrar da condição de convergência para séries geométricas:
- A série geométrica
converge se . - Se
, a série diverge, ou seja, não tem soma finita.
Passo 4
Vamos aplicar essa condição na nossa série. Temos que:
-
- Então,
Como
é maior que
, temos que
. Isso significa que a série não converge, ela diverge.
Resposta
A série
diverge e não possui uma soma finita.
Exercícios relacionados
Escreva os quatro primeiros termos das seguintes séries:
Determine os limites das seguintes seqüências:
Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.