Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
sumk=0^infty 4^k

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a série sumk=0^infty 4^k converge ou não. Se convergir, a gente também precisa achar a soma dela. Vamos usar conceitos de séries geométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar que a série apresentada é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral sumk=0^infty ar^k, onde:
  • a é o primeiro termo da série.
  • r é a razão da série, ou seja, quanto cada termo é multiplicado para chegar ao próximo.
No nosso caso, a série é sumk=0^infty 4^k, então:
  • a = 1 (porque quando k=0, 4^0 = 1).
  • r = 4 (a razão entre os termos consecutivos).

Passo 3

Agora, para saber se essa série converge, a gente precisa lembrar da condição de convergência para séries geométricas:
  • A série geométrica sumk=0^infty ar^k converge se |r| < 1.
  • Se |r| >= 1, a série diverge, ou seja, não tem soma finita.

Passo 4

Vamos aplicar essa condição na nossa série. Temos que:
  • r = 4
  • Então, |r| = |4| = 4
Como 4 é maior que 1, temos que |r| >= 1. Isso significa que a série não converge, ela diverge.

Resposta

A série sumk=0^infty 4^k diverge e não possui uma soma finita.

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