Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a série converge. Se ela convergir, também iremos calcular a sua soma. Para isso, vamos usar o conhecimento sobre séries geométricas, que são séries onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante. Precisamos entender como identificar essa razão e verificar se a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série: . Podemos reescrever como , pois . Assim, temos:
Isso mostra que a série é uma série geométrica, onde cada termo é obtido multiplicando o anterior por .
Passo 3
Agora, vamos lembrar que uma série geométrica da forma converge se o valor absoluto da razão for menor que 1. Ou seja:
No nosso caso, a razão é . Vamos calcular o valor absoluto dessa razão:
Como , a série converge.
Passo 4
Como a série converge, podemos calcular a sua soma usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
Onde:
é a soma da série,
é o primeiro termo da série,
é a razão da série.
Vamos identificar o primeiro termo . Quando :
Agora, substituímos na fórmula:
Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por :