Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
sumk=0^infty 2^k / 23^k

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a série sumk=0^infty 2^k / 23^k converge. Se ela convergir, também iremos calcular a sua soma. Para isso, vamos usar o conhecimento sobre séries geométricas, que são séries onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante. Precisamos entender como identificar essa razão e verificar se a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série: 2^k / 23^k. Podemos reescrever 2^k / 2 como (raiz2)^k, pois raiz2 = 2^1/2. Assim, temos:
2^k / 23^k = (raiz23)^k
Isso mostra que a série é uma série geométrica, onde cada termo é obtido multiplicando o anterior por raiz23.

Passo 3

Agora, vamos lembrar que uma série geométrica da forma sumk=0^infty r^k converge se o valor absoluto da razão |r| for menor que 1. Ou seja:
|r| < 1
No nosso caso, a razão r é raiz23. Vamos calcular o valor absoluto dessa razão:
|raiz23| = raiz23 approx 1,4143 approx 0,471
Como 0,471 < 1, a série converge.

Passo 4

Como a série converge, podemos calcular a sua soma usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
S = a1 - r
Onde:
  • S é a soma da série,
  • a é o primeiro termo da série,
  • r é a razão da série.
Vamos identificar o primeiro termo a. Quando k = 0:
a = (raiz23)^0 = 1
Agora, substituímos na fórmula:
S = 11 - raiz23 = 13 - raiz23 = 33 - raiz2
Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por 3 + raiz2:
S = 3 (3 + raiz2)(3 - raiz2)(3 + raiz2) = 9 + 3raiz29 - 2 = 9 + 3raiz27

Resposta

A série sumk=0^infty 2^k / 23^k converge e a sua soma é 9 + 3raiz27.

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