Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
sumk=4^infty 1k^2-9

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série sumk=4^infty 1k^2-9 converge ou não. Se ela convergir, também precisamos encontrar a soma dessa série. Para resolver isso, vamos mexer com séries e testar a convergência delas, além de usar um pouco de álgebra para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da série: 1k^2-9. Perceba que o denominador pode ser fatorado. Então, vamos fatorar k^2-9.

Passo 3

O denominador k^2-9 é uma diferença de quadrados, que podemos fatorar assim:
k^2-9 = (k-3)(k+3)
Então, temos:
1k^2-9 = 1(k-3)(k+3)

Passo 4

Agora, para simplificar a fração, vamos usar a decomposição em frações parciais. Queremos encontrar constantes A e B tais que:
1(k-3)(k+3) = Ak-3 + Bk+3
Multiplicando ambos os lados por (k-3)(k+3) para eliminar os denominadores:
1 = A(k+3) + B(k-3)

Passo 5

Vamos resolver para A e B. Escolhendo valores inteligentes para k:
  • Para k=3:
1 = A(3+3) + B(3-3) Rightarrow 1 = 6A Rightarrow A = 16
  • Para k=-3:
1 = A(-3+3) + B(-3-3) Rightarrow 1 = -6B Rightarrow B = -16
Então, a decomposição fica:
1k^2-9 = 16(k-3) - 16(k+3)

Passo 6

Substituindo de volta na série original:
sumk=4^infty 1k^2-9 = 16 sumk=4^infty ( 1k-3 - 1k+3 )

Passo 7

Vamos reindexar a série para facilitar a visualização. Seja n = k-3, então quando k=4, n=1, e a série se torna:
16 sumn=1^infty ( 1n - 1n+6 )

Passo 8

Agora, vamos escrever os primeiros termos para ver o que acontece:
16 ( ( 11 - 17 ) + ( 12 - 18 ) + ( 13 - 19 ) + cdots )
Observamos que a série é telescópica, ou seja, muitos termos se cancelam.

Passo 9

Na série telescópica, apenas os primeiros termos não têm um correspondente para cancelar. Especificamente, os termos 11 até 16 não serão cancelados pelos termos posteriores.

Passo 10

Portanto, a soma da série será:
16 ( 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 )
Vamos calcular isso:
16 (1 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 ) = 16 ( 6060 + 3060 + 2060 + 1560 + 1260 + 1060 ) = 16 cdot 14760 = 147360 = 49120

Resposta

A série sumk=4^infty 1k^2-9 converge e a sua soma é 49120.

Exercícios relacionados