Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série converge ou não. Se ela convergir, também precisamos encontrar a soma dessa série. Para resolver isso, vamos mexer com séries e testar a convergência delas, além de usar um pouco de álgebra para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da série: . Perceba que o denominador pode ser fatorado. Então, vamos fatorar .

Passo 3

O denominador é uma diferença de quadrados, que podemos fatorar assim:
Então, temos:

Passo 4

Agora, para simplificar a fração, vamos usar a decomposição em frações parciais. Queremos encontrar constantes e tais que:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Passo 5

Vamos resolver para e . Escolhendo valores inteligentes para :
  • Para :
  • Para :
Então, a decomposição fica:

Passo 6

Substituindo de volta na série original:

Passo 7

Vamos reindexar a série para facilitar a visualização. Seja , então quando , , e a série se torna:

Passo 8

Agora, vamos escrever os primeiros termos para ver o que acontece:
Observamos que a série é telescópica, ou seja, muitos termos se cancelam.

Passo 9

Na série telescópica, apenas os primeiros termos não têm um correspondente para cancelar. Especificamente, os termos até não serão cancelados pelos termos posteriores.

Passo 10

Portanto, a soma da série será:
Vamos calcular isso:

Resposta

A série converge e a sua soma é .

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Escreva os quatro primeiros termos das seguintes séries:
Determine os limites das seguintes seqüências:
Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
Use o teste da integral para determinar a convergência ou não das seguintes séries: