Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série
converge ou não. Se ela convergir, também precisamos encontrar a soma dessa série. Para resolver isso, vamos mexer com séries e testar a convergência delas, além de usar um pouco de álgebra para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da série:
. Perceba que o denominador pode ser fatorado. Então, vamos fatorar
.
Passo 3
O denominador
é uma diferença de quadrados, que podemos fatorar assim:
Então, temos:
Passo 4
Agora, para simplificar a fração, vamos usar a decomposição em frações parciais. Queremos encontrar constantes
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Passo 5
Vamos resolver para
e
. Escolhendo valores inteligentes para
:
- Para
:
- Para
:
Então, a decomposição fica:
Passo 6
Substituindo de volta na série original:
Passo 7
Vamos reindexar a série para facilitar a visualização. Seja
, então quando
,
, e a série se torna:
Passo 8
Agora, vamos escrever os primeiros termos para ver o que acontece:
Observamos que a série é telescópica, ou seja, muitos termos se cancelam.
Passo 9
Na série telescópica, apenas os primeiros termos não têm um correspondente para cancelar. Especificamente, os termos
até
não serão cancelados pelos termos posteriores.
Passo 10
Portanto, a soma da série será:
Vamos calcular isso:
Resposta
A série
converge e a sua soma é
.
Exercícios relacionados
Escreva os quatro primeiros termos das seguintes séries:
Determine os limites das seguintes seqüências:
Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
Use o teste da integral para determinar a convergência ou não das seguintes séries: