Determine os limites das seguintes seqüências:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite! A questão pede para encontrar o limite da sequência . A matéria aqui é cálculo de limites envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como o seno e o cosseno se comportam quando cresce bastante.

Passo 2

Primeiro, vamos observar as funções seno e cosseno. Sabemos que e para todo valor de . Isso significa que, conforme fica muito grande, o impacto de e no numerador e denominador será pequeno comparado a .

Passo 3

Para facilitar, vamos dividir todas as partes da fração por :

Passo 4

Agora, analisando cada termo:
  • : Como está entre e , tende a quando tende ao infinito.
  • : Da mesma forma, também tende a quando cresce muito.

Passo 5

Substituindo esses limites na expressão:

Resposta

O limite da sequência é igual a 1.

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Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.