Use o teste da integral para determinar a convergência ou não das seguintes séries:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai analisar a série
usando o teste da integral. Esse teste ajuda a gente a descobrir se uma série infinita converge (isto é, soma até um valor finito) ou não. Para isso, precisamos relacionar a série com uma integral correspondente.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função
é positiva, contínua e decrescente para
. Isso é importante porque o teste da integral só funciona nessas condições.
- Positiva: Para
, tanto quanto são positivos, então é positiva. - Contínua: A função é contínua para
pois não tem descontinuidades nesse intervalo. - Decrescente: Conforme
aumenta, também aumenta, fazendo com que diminua.
Como a função atende a todos esses critérios, podemos aplicar o teste da integral.
Passo 3
Agora, vamos montar a integral correspondente à série:
A ideia é calcular essa integral e ver se ela converge (tem um valor finito) ou diverge (vai para o infinito).
Passo 4
Vamos resolver a integral:
Fazendo uma substituição para simplificar:
- Seja
- Então,
Substituindo na integral:
Agora, avaliando os limites de integração:
À medida que
tende ao infinito,
também tende ao infinito, e então
também tende ao infinito. Portanto, a integral diverge.
Passo 5
Como a integral diverge, pelo teste da integral, a série
também diverge.
Resposta
A série
diverge.
Exercícios relacionados
Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
Utilize o teste da comparação para estabelecer a convergência ou não das seguintes séries:
Utilize o teste da comparação para estabelecer a convergência ou não das seguintes séries: