Use o teste da integral para determinar a convergência ou não das seguintes séries:
sum 1k ln k

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai analisar a série sum 1k ln k usando o teste da integral. Esse teste ajuda a gente a descobrir se uma série infinita converge (isto é, soma até um valor finito) ou não. Para isso, precisamos relacionar a série com uma integral correspondente.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é positiva, contínua e decrescente para . Isso é importante porque o teste da integral só funciona nessas condições.
  • Positiva: Para , tanto quanto são positivos, então é positiva.
  • Contínua: A função é contínua para pois não tem descontinuidades nesse intervalo.
  • Decrescente: Conforme aumenta, também aumenta, fazendo com que diminua.
Como a função atende a todos esses critérios, podemos aplicar o teste da integral.

Passo 3

Agora, vamos montar a integral correspondente à série:
integral2^infty 1x ln x , dx
A ideia é calcular essa integral e ver se ela converge (tem um valor finito) ou diverge (vai para o infinito).

Passo 4

Vamos resolver a integral:
integral 1x ln x , dx
Fazendo uma substituição para simplificar:
  • Seja integral 1x ln x , dx = integral 1u , du = ln |u| + C = ln (ln x) + C
  • Então, integral2^infty 1x ln x , dx = limb to infty [ ln (ln b) - ln (ln 2) ]
Substituindo na integral:
Agora, avaliando os limites de integração:
À medida que tende ao infinito, também tende ao infinito, e então também tende ao infinito. Portanto, a integral diverge.

Passo 5

Como a integral diverge, pelo teste da integral, a série também diverge.

Resposta

A série diverge.

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