Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série
converge ou não. Se convergir, também precisamos encontrar a soma dela. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de séries geométricas e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a análise. Temos:
Então, a série fica:
Passo 3
Agora, identificamos que a série é uma série geométrica, da forma
, onde
é a razão da série. Neste caso, a razão
.
Passo 4
A convergência de uma série geométrica depende do valor da razão
:
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge.
Passo 5
Vamos calcular o valor absoluto da razão:
Como
, temos que
.
Passo 6
De acordo com o critério da série geométrica, como
, a série diverge. Isso significa que ela não possui uma soma finita.
Resposta
A série
não converge, ou seja, ela diverge.
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Escreva os quatro primeiros termos das seguintes séries:
Use o teste da integral para determinar a convergência ou não das seguintes séries:
Utilize o teste da comparação para estabelecer a convergência ou não das seguintes séries: