Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
sumk=1^infty 3^k3^k / 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série converge ou não. Se convergir, também precisamos encontrar a soma dela. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de séries geométricas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a análise. Temos:
3^k3^k / 2 = 3^k - k/2 = 3^k/2 = (raiz3)^k
Então, a série fica:
sumk=1^infty (raiz3)^k

Passo 3

Agora, identificamos que a série é uma série geométrica, da forma , onde é a razão da série. Neste caso, a razão .

Passo 4

A convergência de uma série geométrica depende do valor da razão :
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.

Passo 5

Vamos calcular o valor absoluto da razão:
|r| = |raiz3| = raiz3 approx 1,732
Como , temos que .

Passo 6

De acordo com o critério da série geométrica, como , a série diverge. Isso significa que ela não possui uma soma finita.

Resposta

A série não converge, ou seja, ela diverge.

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