Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma. sumk=2^infty 2^k+1+2.7^k9^k

Passo 1

Resumo do enunciado: A questão pede para determinar se a série
sumk=2^infty 2^k+1 + 2 cdot 7^k9^k
converge. Se ela convergir, devemos calcular a soma dessa série.
Conteúdo da matéria: Séries infinitas, séries geométricas, critérios de convergência.
O que vamos precisar: Conhecer o conceito de séries geométricas, saber aplicar a fórmula de soma para séries geométricas convergentes e entender como separar termos em uma série.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. Primeiro, separamos a fração em duas partes:
2^k+1 + 2 cdot 7^k9^k = 2^k+19^k + 2 cdot 7^k9^k
Simplificando novamente:
= 2 cdot ( 29 )^k + 2 cdot ( 79 )^k
Agora, a série fica:
sumk=2^infty [ 2 cdot ( 29 )^k + 2 cdot ( 79 )^k ]
Isso nos permite analisar cada termo separadamente como séries geométricas.

Passo 3

Vamos verificar a convergência de cada uma das séries geométricas resultantes.
Série 1:
sumk=2^infty 2 cdot ( 29 )^k
Série 2:
sumk=2^infty 2 cdot ( 79 )^k
Critério de convergência: Uma série geométrica converge se e sua soma é dada por .
Para ambas as séries:
Portanto, ambas as séries geométricas convergem.

Passo 4

Vamos calcular a soma de cada série geométrica.
Soma da Série 1:
sumk=2^infty 2 cdot ( 29 )^k = 2 cdot sumk=2^infty ( 29 )^k
Aplicando a fórmula da soma da série geométrica:
= 2 cdot ( 29 )^21 - 29 = 2 cdot 48179 = 2 cdot 481 times 97 = 2 cdot 36567 = 72567 = 863
Soma da Série 2:
sumk=2^infty 2 cdot ( 79 )^k = 2 cdot sumk=2^infty ( 79 )^k
Aplicando a fórmula da soma da série geométrica:
= 2 cdot ( 79 )^21 - 79 = 2 cdot 498129 = 2 cdot 4981 times 92 = 2 cdot 441162 = 882162 = 499

Resposta

A série
sumk=2^infty 2^k+1 + 2 cdot 7^k9^k
converge e sua soma é:
863 + 499 = 8 + 34363 = 35163 = 397 approx 5,!571

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