Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
Passo 1
Resumo do enunciado: A questão pede para determinar se a série
converge. Se ela convergir, devemos calcular a soma dessa série.
Conteúdo da matéria: Séries infinitas, séries geométricas, critérios de convergência.
O que vamos precisar: Conhecer o conceito de séries geométricas, saber aplicar a fórmula de soma para séries geométricas convergentes e entender como separar termos em uma série.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. Primeiro, separamos a fração em duas partes:
Simplificando novamente:
Agora, a série fica:
Isso nos permite analisar cada termo separadamente como séries geométricas.
Passo 3
Vamos verificar a convergência de cada uma das séries geométricas resultantes.
Série 1:
Série 2:
Critério de convergência: Uma série geométrica
converge se
e sua soma é dada por
.
Para ambas as séries:
Portanto, ambas as séries geométricas convergem.
Passo 4
Vamos calcular a soma de cada série geométrica.
Soma da Série 1:
Aplicando a fórmula da soma da série geométrica:
Soma da Série 2:
Aplicando a fórmula da soma da série geométrica:
Resposta
A série
converge e sua soma é: