Determine os limites das seguintes seqüências:
lim n infty(1+1n^2)^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite da sequência . Aqui, estamos lidando com a matéria de limites de sequências. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimento sobre logaritmos naturais e aproximações para limites.

Passo 2

Primeiro, vamos facilitar o cálculo tirando o logaritmo natural dos dois lados. Isso é útil porque transformar a expressão em um logaritmo nos permite manipular o expoente de uma forma mais simples. Então, seja ln(L) = lim n infty n cdot ln(1+1n^2) , então:

Passo 3

Agora, vamos usar a aproximação de Taylor para o logaritmo natural quando o argumento está próximo de 1. Sabemos que para ln(1 + x) approx x - x^22 pequeno,
ln(1+1n^2) approx 1n^2 - 12n^4
Aqui, , que fica bem pequeno quando cresce. Aplicando isso na nossa expressão:

Passo 4

Substituindo essa aproximação na expressão original:
ln(L) approx lim n infty n (1n^2 - 12n^4) = lim n infty (1n - 12n^3)

Passo 5

Observamos que conforme ln(L) = 0 tende para o infinito, e tendem a zero. Portanto:

Passo 6

Para encontrar L = e^ln(L) = e^0 = 1 , vamos desfazer o logaritmo aplicando a função exponencial dos dois lados:

Resposta

O limite da sequência é 1.

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