Determine os limites das seguintes seqüências:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite da sequência
. Aqui, estamos lidando com a matéria de limites de sequências. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimento sobre logaritmos naturais e aproximações para limites.
Passo 2
Primeiro, vamos facilitar o cálculo tirando o logaritmo natural dos dois lados. Isso é útil porque transformar a expressão em um logaritmo nos permite manipular o expoente de uma forma mais simples. Então, seja
, então:
Passo 3
Agora, vamos usar a aproximação de Taylor para o logaritmo natural quando o argumento está próximo de 1. Sabemos que para
pequeno,
Aqui,
, que fica bem pequeno quando
cresce. Aplicando isso na nossa expressão:
Passo 4
Substituindo essa aproximação na expressão original:
Passo 5
Observamos que conforme
tende para o infinito,
e
tendem a zero. Portanto:
Passo 6
Para encontrar
, vamos desfazer o logaritmo aplicando a função exponencial dos dois lados:
Resposta
O limite da sequência é 1.
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