Utilize o teste da comparação para estabelecer a convergência ou não das seguintes séries:
sum 1k^1 / 2+k^3 / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de matemática juntos! A questão pede para usarmos o teste da comparação para descobrir se a série converge ou não. Vamos precisar entender o que é o teste da comparação e como aplicá-lo a essa série específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o teste da comparação. Ele serve para determinar a convergência ou divergência de uma série comparando-a com outra série conhecida. Se a nossa série for menor que uma série que sabemos que converge, então ela também converge. E se for maior que uma que sabemos que diverge, ela também diverge.

Passo 3

Agora, vamos analisar o denominador da nossa série: k^1/2 + k^3/2 = k^1/2(1 + k) . Podemos fatorar sum 1k^1/2(1 + k) = sum 1k^3/2(1 + 1k) de ambos os termos para simplificar:
sum 1k^3/2
Então, nossa série fica:
Para grande, se aproxima de 1, então podemos aproximar a série por:

Passo 4

Sabemos que a série é uma série p e ela converge se . No nosso caso, , que é maior que 1. Portanto, a série comparativa converge.

Passo 5

Como mostramos que para todos os grandes, e a série converge, pelo teste da comparação, a nossa série original também converge.

Resposta

A série converge pelo teste da comparação.

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