Utilize o teste da comparação para estabelecer a convergência ou não das seguintes séries:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de matemática juntos! A questão pede para usarmos o teste da comparação para descobrir se a série
converge ou não. Vamos precisar entender o que é o teste da comparação e como aplicá-lo a essa série específica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o teste da comparação. Ele serve para determinar a convergência ou divergência de uma série comparando-a com outra série conhecida. Se a nossa série for menor que uma série que sabemos que converge, então ela também converge. E se for maior que uma que sabemos que diverge, ela também diverge.
Passo 3
Agora, vamos analisar o denominador da nossa série:
. Podemos fatorar
de ambos os termos para simplificar:
Então, nossa série fica:
Para
grande,
se aproxima de 1, então podemos aproximar a série por:
Passo 4
Sabemos que a série
é uma série p e ela converge se
. No nosso caso,
, que é maior que 1. Portanto, a série comparativa
converge.
Passo 5
Como mostramos que
para todos os
grandes, e a série
converge, pelo teste da comparação, a nossa série original também converge.
Resposta
A série
converge pelo teste da comparação.
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