Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série converge. Se ela convergir, a gente também precisa achar a soma dela. Vamos usar conceitos de séries geométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão da série para facilitar a visualização. Sabemos que e . Assim, a série fica:

Passo 3

Agora, percebemos que essa é uma série geométrica da forma , onde é a razão da série. No nosso caso, .

Passo 4

Para uma série geométrica convergir, a razão precisa satisfazer . Vamos verificar isso:
Como é menor que 1, a série converge.

Passo 5

Agora que sabemos que a série converge, podemos encontrar a soma usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
Substituindo :

Resposta

A série converge e a sua soma é .

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