Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série converge. Se ela convergir, a gente também precisa achar a soma dela. Vamos usar conceitos de séries geométricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão da série para facilitar a visualização. Sabemos que e . Assim, a série fica:
Passo 3
Agora, percebemos que essa é uma série geométrica da forma , onde é a razão da série. No nosso caso, .
Passo 4
Para uma série geométrica convergir, a razão precisa satisfazer . Vamos verificar isso:
Como é menor que 1, a série converge.
Passo 5
Agora que sabemos que a série converge, podemos encontrar a soma usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita: