Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
sumk=0^infty 2^2 k3^3 k

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série sumk=0^infty 2^2k3^3k converge. Se ela convergir, a gente também precisa achar a soma dela. Vamos usar conceitos de séries geométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão da série para facilitar a visualização. Sabemos que 2^2k = (2^2)^k = 4^k e 3^3k = (3^3)^k = 27^k. Assim, a série fica:
sumk=0^infty 4^k27^k = sumk=0^infty (427)^k

Passo 3

Agora, percebemos que essa é uma série geométrica da forma sumk=0^infty r^k, onde r é a razão da série. No nosso caso, r = 427.

Passo 4

Para uma série geométrica convergir, a razão r precisa satisfazer |r| < 1. Vamos verificar isso:
|427| = 427 < 1
Como 4/27 é menor que 1, a série converge.

Passo 5

Agora que sabemos que a série converge, podemos encontrar a soma usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
S = 11 - r
Substituindo r = 427:
S = 11 - 427 = 12327 = 2723

Resposta

A série converge e a sua soma é 2723.

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