Determine os limites das seguintes seqüências:

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite da sequência . Esse problema faz parte da matéria de Cálculo de Limites, mais especificamente envolvendo raízes e potências. Para resolver, vamos precisar entender como expressar a raiz em termos de potências e usar propriedades dos limites.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão da raiz em termos de potência. A raiz n-ésima de pode ser escrita como:

Passo 3

Simplificando a expressão, temos:
Agora, nosso objetivo é encontrar o limite de quando tende ao infinito.

Passo 4

Vamos analisar o comportamento de quando cresce muito. Sabemos que:
E, conforme , o termo tende a 0, já que o logaritmo cresce mais devagar que qualquer potência de . Portanto:
Multiplicando a potência por 3, temos:

Resposta

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Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
Use o teste da integral para determinar a convergência ou não das seguintes séries: