Determine os limites das seguintes seqüências:

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite da sequência . Esse exercício está no campo de cálculo, mais especificamente no estudo de limites de sequências. Para resolver isso, vamos precisar entender como sequências se comportam quando tende ao infinito e utilizar algumas propriedades dos exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a expressão dentro do limite: . Conforme fica cada vez maior, se aproxima de zero, então dentro do parêntese, estamos basicamente elevando algo que se aproxima de 1 a uma potência que está crescendo sem limites.

Passo 3

Para resolver limites desse tipo, podemos usar uma propriedade conhecida dos limites exponenciais:
onde é a base do logaritmo natural, aproximadamente igual a 2,71828.

Passo 4

No nosso caso, a expressão é . Podemos reescrever isso como , onde .

Passo 5

Aplicando a propriedade que mencionamos, temos:

Resposta

O limite é , que aproximadamente vale 0,0498.

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Use a definição de limite para provar que nos casos abaixo:
Determine os limites das seguintes seqüências:
Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.