Determine os limites das seguintes seqüências: lim n infty(n+pi)^1 / n

Passo 1

Vamos resolver o limite da sequência . Aqui, estamos trabalhando com limites de sequências e vamos precisar entender como expressões com potências se comportam quando cresce muito. Para resolver isso, vamos usar propriedades de logaritmos e exponenciais que ajudam a simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a sequência usando o logaritmo natural para facilitar o cálculo:
limn infty (n + pi)^1/n = limn infty e^ln(n + pi)n
Aqui, usamos a propriedade que .

Passo 3

Agora, precisamos calcular o limite do expoente:
limn infty ln(n + pi)n
À medida que limn infty ln(n)n cresce, se torna insignificante em comparação com , então podemos aproximar . Assim:

Passo 4

Sabemos que limn infty ln(n)n = 0 cresce mais lentamente que . Então, o limite de quando tende ao infinito é 0.

Passo 5

Substituindo de volta no nosso limite original:
limn infty e^ln(n + pi)n = e^0 = 1

Resposta

O limite da sequência é 1.

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