Determine os limites das seguintes seqüências:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o limite da sequência
. Vamos utilizar conceitos de limites e propriedades das funções trigonométricas para encontrar a resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com o ângulo
conforme
cresce sem limites. Como
está indo para o infinito,
tende a zero. Isso significa que estamos lidando com o seno de um ângulo muito pequeno.
Passo 3
Sabemos que, para valores pequenos de
, a função seno pode ser aproximada por
. Então, podemos dizer que:
Isso simplifica nossa expressão original para:
Passo 4
Agora, vamos reescrever
usando logaritmos para facilitar o cálculo do limite. Lembrando que
, temos:
Portanto, o limite que queremos calcular agora é:
Passo 5
O próximo passo é calcular o limite do expoente:
Sabemos que
cresce mais lentamente que qualquer potência de
, então:
Multiplicando por
, ainda teremos:
Passo 6
Voltando à nossa expressão com
, temos:
Resposta
O limite da sequência é
.