Determine os limites das seguintes seqüências: lim n infty n^sen(pi / n)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o limite da sequência . Vamos utilizar conceitos de limites e propriedades das funções trigonométricas para encontrar a resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com o ângulo conforme cresce sem limites. Como está indo para o infinito, tende a zero. Isso significa que estamos lidando com o seno de um ângulo muito pequeno.

Passo 3

Sabemos que, para valores pequenos de sin(pin) approx pin , a função seno pode ser aproximada por n^sin(pin) approx n^pin . Então, podemos dizer que:
Isso simplifica nossa expressão original para:

Passo 4

Agora, vamos reescrever n^pin = e^pin ln n usando logaritmos para facilitar o cálculo do limite. Lembrando que limn to infty e^pin ln n , temos:
Portanto, o limite que queremos calcular agora é:

Passo 5

O próximo passo é calcular o limite do expoente:
limn to infty pi ln nn
Sabemos que limn to infty ln nn = 0 cresce mais lentamente que qualquer potência de limn to infty pi ln nn = 0 , então:
Multiplicando por , ainda teremos:

Passo 6

Voltando à nossa expressão com limn to infty e^pi ln nn = e^0 = 1 , temos:

Resposta

O limite da sequência é .

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