Determine a convergências das séries:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série infinita, que é tipo uma soma que nunca termina. A série é:
. Nosso objetivo é descobrir se essa série converge, ou seja, se essa soma chega a um número finito ou não. Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra e conhecimento sobre séries geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. Observando o termo geral
, podemos reescrever isso para deixar mais claro. Vamos separar os expoentes:
Passo 3
Agora, calculamos as constantes:
E no termo da potência:
Então, a série fica:
Passo 4
Perceba que
é uma razão constante elevada à potência
. Isso caracteriza uma série geométrica, que tem a forma
, onde
é o primeiro termo e
é a razão.
Para uma série geométrica convergir, o valor absoluto da razão
precisa ser menor que 1, ou seja,
.
Passo 5
No nosso caso, a razão
é
, que é aproximadamente 0,78125. Como
, a série geométrica converge.
Passo 6
Além disso, podemos encontrar o valor da soma da série começando de
:
Mas como o foco aqui é apenas determinar a convergência, esse cálculo adicional não é necessário agora.
Resposta
A série
converge.
Exercícios relacionados
Nos seguintes exercícios, determine uma equação cartesiana da curva que seja descrita pelo ponto final da representação posicional de
. Encontre
. Interprete o resultado geometricamente.
(b)
(b)
Determine a convergências das séries:
Seja
, mostre que
Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência para as seguintes séries de potências.