Determine a convergências das séries:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série infinita, que é tipo uma soma que nunca termina. A série é: . Nosso objetivo é descobrir se essa série converge, ou seja, se essa soma chega a um número finito ou não. Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra e conhecimento sobre séries geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. Observando o termo geral , podemos reescrever isso para deixar mais claro. Vamos separar os expoentes:

Passo 3

Agora, calculamos as constantes:
E no termo da potência:
Então, a série fica:

Passo 4

Perceba que é uma razão constante elevada à potência . Isso caracteriza uma série geométrica, que tem a forma , onde é o primeiro termo e é a razão.
Para uma série geométrica convergir, o valor absoluto da razão precisa ser menor que 1, ou seja, .

Passo 5

No nosso caso, a razão é , que é aproximadamente 0,78125. Como , a série geométrica converge.

Passo 6

Além disso, podemos encontrar o valor da soma da série começando de :
Mas como o foco aqui é apenas determinar a convergência, esse cálculo adicional não é necessário agora.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados

Nos seguintes exercícios, determine uma equação cartesiana da curva que seja descrita pelo ponto final da representação posicional de . Encontre . Interprete o resultado geometricamente.
(b)
Determine a convergências das séries:
Seja , mostre que
Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência para as seguintes séries de potências.