Determine a convergências das séries: sumn=4^infty (-5)^1+2 n2^5 n-3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série infinita, que é tipo uma soma que nunca termina. A série é: . Nosso objetivo é descobrir se essa série converge, ou seja, se essa soma chega a um número finito ou não. Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra e conhecimento sobre séries geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. Observando o termo geral (-5)^1+2n2^5n-3 = (-5) cdot (-5)^2n2^-3 cdot 2^5n = (-5) cdot 2^3 cdot ( (-5)^22^5 )^n , podemos reescrever isso para deixar mais claro. Vamos separar os expoentes:

Passo 3

Agora, calculamos as constantes:
(-5) cdot 2^3 = -5 cdot 8 = -40
E no termo da potência:
(-5)^22^5 = 2532
Então, a série fica:
-40 cdot sumn=4^infty ( 2532 )^n

Passo 4

Perceba que é uma razão constante elevada à potência . Isso caracteriza uma série geométrica, que tem a forma , onde é o primeiro termo e é a razão.
Para uma série geométrica convergir, o valor absoluto da razão precisa ser menor que 1, ou seja, .

Passo 5

No nosso caso, a razão é , que é aproximadamente 0,78125. Como , a série geométrica converge.

Passo 6

Além disso, podemos encontrar o valor da soma da série começando de sumn=4^infty ( 2532 )^n = ( 2532 )^4 cdot 11 - 2532 = ( 2532 )^4 cdot 327 :
Mas como o foco aqui é apenas determinar a convergência, esse cálculo adicional não é necessário agora.

Resposta

A série converge.

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