Determine a convergências das séries: sumn=1^infty(3 n+14-2 n)^2 n

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que determinar a convergência da série infinita:
sumn=1^infty(3n+14-2n)^2n
Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Raiz, que nos ajuda a verificar se uma série converge ou diverge analisando o limite da raiz enésima do termo geral da série.

Passo 2

Vamos começar analisando o termo geral da série:
an = (3n+14-2n)^2n
Nosso objetivo é encontrar o limite de quando tende ao infinito. Isso nos dará uma ideia se a série converge ou não.

Passo 3

Aplicando o Teste da Raiz, calculamos:
limn to infty |an|^1/n = limn to infty |3n+14-2n|^2
Aqui, simplificamos o termo elevando à potência de , o que reduz o expoente de para .

Passo 4

Agora, vamos simplificar a expressão dentro do limite:
limn to infty |3n+14-2n|^2 = limn to infty (3n+12n-4)^2
Para grandes valores de 3n+12n-4 approx 3n2n = 32 , os termos constantes se tornam desprezíveis, então podemos aproximar:
limn to infty (32)^2 = (32)^2 = 94
Portanto:

Passo 5

De acordo com o Teste da Raiz:
  • Se o limite for menor que 1, a série converge.
  • Se o limite for maior que 1, a série diverge.
  • Se o limite for igual a 1, o teste é inconclusivo.
No nosso caso, o limite é , que é maior que 1. Portanto, a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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