Seja , mostre que

Passo 1

Beleza, vamos entender qual é a questão aqui. A gente tem um vetor cujo módulo (ou norma) é dado por , ou seja, . A pergunta quer que a gente mostre que o produto interno entre e sua derivada é igual ao produto de e sua derivada . Para resolver isso, vamos precisar usar algumas propriedades de vetores e derivadas, especialmente a regra da derivada de um produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o módulo de um vetor é dado por . No caso, isso já está definido como . Então, podemos escrever:
Para simplificar, vamos elevar os dois lados ao quadrado:

Passo 3

Agora, vamos derivar ambos os lados dessa igualdade em relação a . Lembrando que a derivada de um produto interno usa a regra do produto, ou seja:
Do lado direito, a derivada de é:

Passo 4

Agora, igualando as duas derivadas que obtivemos:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 2:

Resposta

Portanto, mostramos que .

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(b)
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