Seja
, mostre que
Passo 1
Beleza, vamos entender qual é a questão aqui. A gente tem um vetor
cujo módulo (ou norma) é dado por
, ou seja,
. A pergunta quer que a gente mostre que o produto interno entre
e sua derivada
é igual ao produto de
e sua derivada
. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas propriedades de vetores e derivadas, especialmente a regra da derivada de um produto interno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o módulo de um vetor
é dado por
. No caso, isso já está definido como
. Então, podemos escrever:
Para simplificar, vamos elevar os dois lados ao quadrado:
Passo 3
Agora, vamos derivar ambos os lados dessa igualdade em relação a
. Lembrando que a derivada de um produto interno
usa a regra do produto, ou seja:
Do lado direito, a derivada de
é:
Passo 4
Agora, igualando as duas derivadas que obtivemos:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 2:
Resposta
Portanto, mostramos que
.
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Nos seguintes exercícios, determine uma equação cartesiana da curva que seja descrita pelo ponto final da representação posicional de
. Encontre
. Interprete o resultado geometricamente.
(b)
(b)
Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência para as seguintes séries de potências.
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até
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