Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência para as seguintes séries de potências.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências . A matéria que estamos usando aqui é sobre convergência de séries de potências, especificamente utilizando o teste da razão para encontrar até onde a série “funciona” ou converge. Precisamos entender como aplicar esse teste e depois descobrir os valores de que fazem a série convergir.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série de uma forma mais simples para facilitar a aplicação do teste. A série que temos é:
Podemos reescrever isso como:
Isso nos ajuda a ver que a série é uma potência de multiplicada por .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão, que é uma técnica para determinar o raio de convergência. O teste da razão diz que, para uma série , se:
Então, a série converge se e diverge se . Se , o teste não é conclusivo.
No nosso caso, . Vamos calcular :

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite :
Para que a série convirja, precisamos que :

Passo 5

Vamos resolver a desigualdade :
Agora, adicionamos 16 em todas as partes:
Dividindo tudo por 8:
Então, o raio de convergência é metade do comprimento do intervalo de convergência. O comprimento do intervalo é , então:

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

Exercícios relacionados

Seja , mostre que
Determine a convergências das séries:
Nos exercícios a seguir, encontre o comprimento de arco da curva de até
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Seja . Qual o valor máximo de ?