Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência para as seguintes séries de potências.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências . A matéria que estamos usando aqui é sobre convergência de séries de potências, especificamente utilizando o teste da razão para encontrar até onde a série “funciona” ou converge. Precisamos entender como aplicar esse teste e depois descobrir os valores de que fazem a série convergir.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a série de uma forma mais simples para facilitar a aplicação do teste. A série que temos é:
Podemos reescrever isso como:
Isso nos ajuda a ver que a série é uma potência de multiplicada por .
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão, que é uma técnica para determinar o raio de convergência. O teste da razão diz que, para uma série , se:
Então, a série converge se e diverge se . Se , o teste não é conclusivo.
No nosso caso, . Vamos calcular :
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite :
Para que a série convirja, precisamos que :
Passo 5
Vamos resolver a desigualdade :
Agora, adicionamos 16 em todas as partes:
Dividindo tudo por 8:
Então, o raio de convergência é metade do comprimento do intervalo de convergência. O comprimento do intervalo é , então:
Resposta
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .