Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência para as seguintes séries de potências. sumn=1^infty 2^nn(4 x-8)^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências . A matéria que estamos usando aqui é sobre convergência de séries de potências, especificamente utilizando o teste da razão para encontrar até onde a série “funciona” ou converge. Precisamos entender como aplicar esse teste e depois descobrir os valores de que fazem a série convergir.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série de uma forma mais simples para facilitar a aplicação do teste. A série que temos é:
sumn=1^infty 2^nn(4 x - 8)^n
Podemos reescrever isso como:
sumn=1^infty (2(4x - 8))^nn = sumn=1^infty (8x - 16)^nn
Isso nos ajuda a ver que a série é uma potência de multiplicada por .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão, que é uma técnica para determinar o raio de convergência. O teste da razão diz que, para uma série L = limn to infty | an+1an | , se:
an+1an = (8x -16)^n+1n+1(8x -16)^nn = (8x -16)^n+1n+1 cdot n(8x -16)^n = (8x -16)1 cdot nn+1 = (8x -16) cdot nn+1
Então, a série converge se e diverge se . Se , o teste não é conclusivo.
No nosso caso, . Vamos calcular :

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite L = limn to infty | (8x -16) cdot nn+1 | = |8x -16| cdot limn to infty nn+1 = |8x -16| cdot 1 = |8x -16| :
|8x -16| < 1
Para que a série convirja, precisamos que :

Passo 5

Vamos resolver a desigualdade -1 < 8x -16 < 1 :
15 < 8x < 17
Agora, adicionamos 16 em todas as partes:
158 < x < 178
Dividindo tudo por 8:
R = 14
Então, o raio de convergência é metade do comprimento do intervalo de convergência. O comprimento do intervalo é , então:

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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