Nos seguintes exercícios, determine uma equação cartesiana da curva que seja descrita pelo ponto final da representação posicional de
. Encontre
. Interprete o resultado geometricamente.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma equação cartesiana da curva formada pelo ponto final de
quando
. Além disso, precisamos calcular o produto escalar
e interpretar o resultado geometricamente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de funções vetoriais e produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar
, que é a derivada da função vetorial
em relação a
. Sabemos que:
A derivada de
é
e a derivada de
é
. Então,
Passo 3
Agora, queremos a equação cartesiana da curva descrita pelo ponto final de
. Para isso, vamos chamar as componentes de
de
e
:
Sabemos da identidade hiperbólica que:
Substituindo
e
:
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto escalar
. O produto escalar entre dois vetores
e
é dado por:
Aplicando isso às nossas funções:
Usando a identidade hiperbólica
, temos:
Resposta
A equação cartesiana da curva é
. O produto escalar
é igual a
. Geometricamente, isso significa que o vetor
está relacionado com sua derivada
de forma que o produto escalar varia conforme
, refletindo a natureza hiperbólica da curva.
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Seja
, mostre que