Nos seguintes exercícios, determine uma equação cartesiana da curva que seja descrita pelo ponto final da representação posicional de . Encontre . Interprete o resultado geometricamente.
(b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma equação cartesiana da curva formada pelo ponto final de quando . Além disso, precisamos calcular o produto escalar e interpretar o resultado geometricamente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de funções vetoriais e produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar , que é a derivada da função vetorial em relação a . Sabemos que:
A derivada de é e a derivada de é . Então,

Passo 3

Agora, queremos a equação cartesiana da curva descrita pelo ponto final de . Para isso, vamos chamar as componentes de de e :
Sabemos da identidade hiperbólica que:
Substituindo e :

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar . O produto escalar entre dois vetores e é dado por:
Aplicando isso às nossas funções:
Usando a identidade hiperbólica , temos:

Resposta

A equação cartesiana da curva é . O produto escalar é igual a . Geometricamente, isso significa que o vetor está relacionado com sua derivada de forma que o produto escalar varia conforme , refletindo a natureza hiperbólica da curva.

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Seja , mostre que