Nos seguintes exercícios, encontre o vetor mais geral cuja derivada é a função dada.
(b) tan(t)i - 1/t j

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Você precisa encontrar o vetor mais geral cuja derivada é a função dada: . Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente integração de funções vetoriais. Vamos precisar integrar cada componente da função vetorial para encontrar o vetor original.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se temos a derivada de um vetor função , para encontrar a função original r(t), precisamos integrar cada componente em relação a t. Ou seja:
onde C é o vetor constante de integração.

Passo 3

Vamos dividir a função vetorial dada em suas componentes:
  • Componente i: tan t
  • Componente j:
Agora, vamos integrar cada uma separadamente.

Passo 4

Integrando a componente i:
Sabemos que , e a integral de tan t é:
onde é uma constante de integração.

Passo 5

Integrando a componente j:
A integral de é:
onde é outra constante de integração.

Passo 6

Agora, juntamos as integrais das duas componentes e adicionamos o vetor constante de integração :

Resposta

O vetor mais geral cuja derivada é é:
onde C é um vetor constante.

Exercícios relacionados