Determine a convolução , onde á e á. Represente o resultado graficamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de convolução! O enunciado pede para encontrar a convolução das funções e . Então, vamos usar conceitos de análise de sinais e integrais para resolver isso. Vamos precisar entender o que é convolução e como aplicar essa operação nas funções dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é convolução. A convolução de duas funções e é definida como:
Essa operação basicamente “desliza” uma função sobre a outra, multiplicando e somando as áreas de sobreposição.

Passo 3

Vamos analisar as funções dadas:
á
á
Essas funções possuem intervalos finitos onde são diferentes de zero, o que facilita nosso cálculo.

Passo 4

Para calcular a convolução , vamos considerar os intervalos onde ambas as funções são diferentes de zero. Como é não nula de a e de a , a convolução será não nula de até .
Vamos dividir o cálculo em diferentes intervalos de :
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :

Passo 5

Vamos calcular cada integral:
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :
    Simplificando isso, obtemos:

Resposta

A convolução é dada por:
á

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Apresenta também os gráficos da função e a da sua transformada (utilize um software de gráficos).
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