Determine a convolução
, onde
e
. Represente o resultado graficamente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de convolução! O enunciado pede para encontrar a convolução das funções
e
. Então, vamos usar conceitos de análise de sinais e integrais para resolver isso. Vamos precisar entender o que é convolução e como aplicar essa operação nas funções dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é convolução. A convolução de duas funções
e
é definida como:
Essa operação basicamente “desliza” uma função sobre a outra, multiplicando e somando as áreas de sobreposição.
Passo 3
Vamos analisar as funções dadas:
Essas funções possuem intervalos finitos onde são diferentes de zero, o que facilita nosso cálculo.
Passo 4
Para calcular a convolução
, vamos considerar os intervalos onde ambas as funções são diferentes de zero. Como
é não nula de
a
e
de
a
, a convolução será não nula de
até
.
Vamos dividir o cálculo em diferentes intervalos de
:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 5
Vamos calcular cada integral:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: Simplificando isso, obtemos:
Resposta
A convolução
é dada por: