Utilize o teorema da convolução para calcular a transformada inversa de Laplace da função .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar o teorema da convolução para encontrar a transformada inversa de Laplace da função . Isso está relacionado ao estudo de Transformadas de Laplace, especificamente invertendo uma função no domínio de para o tempo . Vamos precisar fatorar a função e aplicar o teorema da convolução para encontrar a resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função . Podemos fatorar o denominador:
Então, a função fica:

Passo 3

Agora, para aplicar a transformada inversa, queremos separar em duas partes que podemos inverter individualmente. Vamos escrever:
Aqui, temos duas funções simples cuja transformada inversa conhecemos:

Passo 4

O teorema da convolução diz que a transformada inversa do produto de duas funções no domínio de é a convolução das transformadas inversas no domínio do tempo. Ou seja:

Passo 5

Vamos calcular a convolução . A definição da convolução é:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples ou uso de integração por partes.

Passo 6

Resolvendo a integral:
Integrando por partes, obtemos:
Então:

Resposta

A transformada inversa de Laplace de é:

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