Utilize o teorema da convolução para calcular a transformada inversa de Laplace da função .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar o teorema da convolução para encontrar a transformada inversa de Laplace da função . Isso está relacionado ao estudo de Transformadas de Laplace, especificamente invertendo uma função no domínio de para o tempo . Vamos precisar fatorar a função e aplicar o teorema da convolução para encontrar a resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função . Podemos fatorar o denominador:
Então, a função fica:
Passo 3
Agora, para aplicar a transformada inversa, queremos separar em duas partes que podemos inverter individualmente. Vamos escrever:
Aqui, temos duas funções simples cuja transformada inversa conhecemos:
Passo 4
O teorema da convolução diz que a transformada inversa do produto de duas funções no domínio de é a convolução das transformadas inversas no domínio do tempo. Ou seja:
Passo 5
Vamos calcular a convolução . A definição da convolução é:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples ou uso de integração por partes.