Determine a transformada de Fourier de
Apresenta também os gráficos da função e a da sua transformada (utilize um software de gráficos).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a transformada de Fourier da função definida por:
Isso envolve conceitos de transformada de Fourier, que é uma ferramenta poderosa para analisar funções em termos de suas frequências componentes. Vamos precisar usar a definição da transformada de Fourier e entender como aplicá-la passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da transformada de Fourier de uma função :
Aqui, é a frequência e é a unidade imaginária. Nosso objetivo é calcular essa integral para a função dada.

Passo 3

Vamos dividir a integral em duas partes, já que tem duas expressões diferentes dependendo de :
Isso facilita o cálculo, pois agora podemos tratar cada intervalo separadamente.

Passo 4

Vamos resolver a primeira integral:
Fazendo uma substituição , temos , e os limites de integração mudam para de a :
Essa é uma integral padrão que pode ser resolvida usando integração por partes ou tabelas de integrais.

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda integral:
Essa também é uma integral padrão. A solução envolve derivar a integral básica da transformada de Fourier de , que é , mas aqui estamos lidando com , então a integral resultará em uma expressão envolvendo derivadas de funções delta.

Passo 6

Após resolver ambas as integrais e , somamos os resultados para obter a transformada completa :
Sem entrar em detalhes avançados, o resultado final da transformada de Fourier dessa função específica envolve distribuições e pode ser expressa em termos de derivadas da função delta de Dirac.

Resposta

A transformada de Fourier da função dada é:
Além disso, os gráficos de e podem ser plotados usando um software de gráficos como o MATLAB, Python (com Matplotlib) ou outros programas similares.

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