Determine a transformada de Fourier de
Apresenta também os gráficos da função
e a da sua transformada (utilize um software de gráficos).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a transformada de Fourier da função
definida por:
Isso envolve conceitos de transformada de Fourier, que é uma ferramenta poderosa para analisar funções em termos de suas frequências componentes. Vamos precisar usar a definição da transformada de Fourier e entender como aplicá-la passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição da transformada de Fourier de uma função
:
Aqui,
é a frequência e
é a unidade imaginária. Nosso objetivo é calcular essa integral para a função
dada.
Passo 3
Vamos dividir a integral em duas partes, já que
tem duas expressões diferentes dependendo de
:
Isso facilita o cálculo, pois agora podemos tratar cada intervalo separadamente.
Passo 4
Vamos resolver a primeira integral:
Fazendo uma substituição
, temos
, e os limites de integração mudam para
de
a
:
Essa é uma integral padrão que pode ser resolvida usando integração por partes ou tabelas de integrais.
Passo 5
Agora, vamos resolver a segunda integral:
Essa também é uma integral padrão. A solução envolve derivar a integral básica da transformada de Fourier de
, que é
, mas aqui estamos lidando com
, então a integral resultará em uma expressão envolvendo derivadas de funções delta.
Passo 6
Após resolver ambas as integrais
e
, somamos os resultados para obter a transformada completa
:
Sem entrar em detalhes avançados, o resultado final da transformada de Fourier dessa função específica envolve distribuições e pode ser expressa em termos de derivadas da função delta de Dirac.
Resposta
A transformada de Fourier da função
dada é:
Além disso, os gráficos de
e
podem ser plotados usando um software de gráficos como o MATLAB, Python (com Matplotlib) ou outros programas similares.
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Determine a convolução
, onde
e
. Represente o resultado graficamente.
Seja
. Calcule
, ou seja,
. Sugestão: Faça a mudança de variável
.
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.
Para cada equação paramétrica determine a equação cartesiana e esboce a curva.
.