Seja f(t)=t^b, b>-1. Calcule Lf(t), ou seja, Lf(t)=integral0^infty t^b e^-s t d t. Sugestão: Faça a mudança de variável x=s t.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Você precisa calcular a transformada de Laplace da função , onde . A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática que transforma funções do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução de equações diferenciais e outros problemas.

Passo 2

A transformada de Laplace de Lf(t) = integral0^infty t^b e^-s t , dt é definida pela integral:
Aqui, é uma variável complexa que geralmente representa a frequência.

Passo 3

Vamos seguir a sugestão de fazer uma mudança de variável para simplificar a integral. Seja . Assim, e .

Passo 4

Substituindo Lf(t) = integral0^infty ( xs )^b e^-x cdot dxs e na integral original, temos:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
Lf(t) = 1s^b+1 integral0^infty x^b e^-x , dx

Passo 6

A integral é conhecida como a função Gamma, denotada por . A função Gamma generaliza o fatorial para números reais, onde para números inteiros positivos.

Resposta

Portanto, a transformada de Laplace de Lf(t) = Gamma(b+1)s^b+1 é:

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