Seja . Calcule , ou seja, . Sugestão: Faça a mudança de variável .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Você precisa calcular a transformada de Laplace da função , onde . A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática que transforma funções do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução de equações diferenciais e outros problemas.

Passo 2

A transformada de Laplace de é definida pela integral:
Aqui, é uma variável complexa que geralmente representa a frequência.

Passo 3

Vamos seguir a sugestão de fazer uma mudança de variável para simplificar a integral. Seja . Assim, e .

Passo 4

Substituindo e na integral original, temos:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:

Passo 6

A integral é conhecida como a função Gamma, denotada por . A função Gamma generaliza o fatorial para números reais, onde para números inteiros positivos.

Resposta

Portanto, a transformada de Laplace de é:

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Apresenta também os gráficos da função e a da sua transformada (utilize um software de gráficos).