Seja
. Calcule
, ou seja,
. Sugestão: Faça a mudança de variável
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Você precisa calcular a transformada de Laplace da função
, onde
. A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática que transforma funções do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução de equações diferenciais e outros problemas.
Passo 2
A transformada de Laplace de
é definida pela integral:
Aqui,
é uma variável complexa que geralmente representa a frequência.
Passo 3
Vamos seguir a sugestão de fazer uma mudança de variável para simplificar a integral. Seja
. Assim,
e
.
Passo 4
Substituindo
e
na integral original, temos:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Passo 6
A integral
é conhecida como a função Gamma, denotada por
. A função Gamma generaliza o fatorial para números reais, onde
para números inteiros positivos.
Resposta
Portanto, a transformada de Laplace de
é:
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Mostre que, se
, então,
, para
contínua em
e de ordem exponencial para
, ao passo que
é seccionalmente contínua em
.
Resolva as EDO
Determine a convolução
, onde
e
. Represente o resultado graficamente.
Determine a transformada de Fourier de
Apresenta também os gráficos da função
e a da sua transformada (utilize um software de gráficos).