Mostre que, se , então, , para contínua em e de ordem exponencial para , ao passo que é seccionalmente contínua em .

Passo 1

Vamos lá! O que a gente tem aqui é para provar uma propriedade da Transformada de Laplace. O enunciado nos diz que se a transformada de Laplace de uma função é , então a transformada de Laplace da sua derivada é . Para resolver isso, vamos precisar entender como a Transformada de Laplace funciona com derivadas e lembrar das condições que garantem que a transformada exista, como a função ser contínua e de ordem exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Transformada de Laplace de uma função é definida por:
Agora, queremos encontrar a Transformada de Laplace de , ou seja, .
Vamos aplicar a definição da Transformada de Laplace à derivada:
Aqui, vamos usar integração por partes, onde identificamos:
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Simplificando:
Assumindo que é de ordem exponencial para , o primeiro termo tende a zero. Então:
Ou seja:

Resposta

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Seja . Calcule , ou seja, . Sugestão: Faça a mudança de variável .
Determine a convolução , onde á e á. Represente o resultado graficamente.