Determine as coordenadas cartesianas e cilíndricas do ponto com coordenadas esféricas (rho, theta, phi)= (4, pi, pi).

Passo 1

Primeiro, vamos entender a questão. Temos um ponto dado em coordenadas esféricas com os valores (rho, theta, phi) = (4, pi, pi). Nosso objetivo é encontrar as coordenadas desse ponto nos sistemas cartesianas e cilíndricas. Para isso, precisamos saber como fazer a conversão entre coordenadas esféricas para esses outros sistemas.

Passo 2

Vamos começar convertendo para coordenadas cartesianas. As fórmulas de conversão de coordenadas esféricas (rho, theta, phi) para cartesianas (x, y, z) são:
x = rho sinphi costheta
y = rho sinphi sintheta
z = rho cosphi
Isso significa que, conhecendo rho, theta e phi, podemos calcular x, y e z.

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores fornecidos: rho = 4, theta = pi, e phi = pi.
Calculando x:
x = 4 cdot sin(pi) cdot cos(pi)
Sabemos que sin(pi) = 0, então:
x = 4 cdot 0 cdot cos(pi) = 0

Passo 4

Calculando y:
y = 4 cdot sin(pi) cdot sin(pi)
Novamente, sin(pi) = 0, então:
y = 4 cdot 0 cdot sin(pi) = 0

Passo 5

Calculando z:
z = 4 cdot cos(pi)
Sabemos que cos(pi) = -1, então:
z = 4 cdot (-1) = -4

Passo 6

Portanto, as coordenadas cartesianas são (x, y, z) = (0, 0, -4).
Agora, vamos converter para coordenadas cilíndricas.

Passo 7

As fórmulas de conversão de coordenadas esféricas (rho, theta, phi) para cilíndricas (r, theta, z) são:
r = rho sinphi
z = rho cosphi
Repare que o ângulo theta permanece o mesmo nas duas coordenadas, sendo o ângulo no plano xy.

Passo 8

Substituindo os valores dados:
Calculando r:
r = 4 cdot sin(pi) = 4 cdot 0 = 0
Calculando z:
z = 4 cdot cos(pi) = 4 cdot (-1) = -4

Passo 9

Portanto, as coordenadas cilíndricas são (r, theta, z) = (0, pi, -4).

Resposta

As coordenadas cartesianas do ponto são (0, 0, -4) e as coordenadas cilíndricas são (0, pi, -4).

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