Determine as coordenadas cartesianas e cilíndricas do ponto com coordenadas esféricas
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender a questão. Temos um ponto dado em coordenadas esféricas com os valores
. Nosso objetivo é encontrar as coordenadas desse ponto nos sistemas cartesianas e cilíndricas. Para isso, precisamos saber como fazer a conversão entre coordenadas esféricas para esses outros sistemas.
Passo 2
Vamos começar convertendo para coordenadas cartesianas. As fórmulas de conversão de coordenadas esféricas
para cartesianas
são:
Isso significa que, conhecendo
,
e
, podemos calcular
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos substituir os valores fornecidos:
,
, e
.
Calculando
:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Calculando
:
Novamente,
, então:
Passo 5
Calculando
:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Portanto, as coordenadas cartesianas são
.
Agora, vamos converter para coordenadas cilíndricas.
Passo 7
As fórmulas de conversão de coordenadas esféricas
para cilíndricas
são:
Repare que o ângulo
permanece o mesmo nas duas coordenadas, sendo o ângulo no plano
.
Passo 8
Substituindo os valores dados:
Calculando
:
Calculando
:
Passo 9
Portanto, as coordenadas cilíndricas são
.
Resposta
As coordenadas cartesianas do ponto são
e as coordenadas cilíndricas são
.